2011年全国初中数学联合竞赛试题

`2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2ba，4)1()1(22abba，则ab的值为（）A．1.B．1.C．21.D．21.【答】B.由4)1()1(22abba可得abbbaa4)1()1(22，即04)(2)(3322abbababa，即222222()2()40abaabbab，即2240abab，所以1ab．2．已知△ABC的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（）A．5.B．6.C．7.D．8.【答】B.设△ABC的面积为S，所求的第三条高线的长为h，则三边长分别为hSSS2,202,52．显然20252SS，于是由三边关系，得,252202,522202hSSSShSS解得3204h．所以h的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为6.3．方程)2)(324(|1|2xx的解的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答】C.当1||x时，方程为)2)(324(12xx，即0349)324(2xx，解得13x，2433x，均满足1||x．当1||x时，方程为)2)(324(12xx，即0347)324(2xx，解得332x，满足1||x．综上，原方程有3个解．.4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有（）A．5组.B．7组.C．9组.D．11组.【答】C.显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条．当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和．当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等．又因为45921，所以正方形的边长不大于45[]114．由于4352617；5362718；546372819；64738291；65748392．所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5种方法。故满足条件的“线段组”的组数为1×4＋5＝9．5．如图，菱形ABCD中，3AB，1DF，60DAB，15EFG，BCFG，则AE（）A．21.B．6.C．132.D．31.【答】D.过F作AB的垂线，垂足为H．∵60DAB，2FDADAF，∴30AFH，1AH，3FH，又∵15EFG，∴EFGAFHAFGEFH45153090，从而△FHE是等腰直角三角形，所以HE＝FH＝3，∴31HEAHAE．6．已知2111zyx，3111xzy，4111yxz，则zyx432的值为（）2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共8页）HGCBADFEA．1.B．23.C．2.D．25.【答】C.由已知等式得2zyxzxxy，3zyxxyyz，4zyxyzzx，所以29zyxzxyzxy．于是，25zyxyz，23zyxzx，21zyxxy．所以35xy，3yz，35xy，即xyz53。代入2111zyx，得2153511xxx，解得1023x．所以2523543532432xxxxzyx．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．在△ABC中，已知AB2，322,2ABBC，则A．【答】15。延长AB到D，使BD＝BC，连线段CD，则12DBCDABCA，所以CA＝CD。作ABCE于点E，则E为AD的中点，故111()(2232)23222AEDEADABBD，(223)(23)3BEABAE.在Rt△BCE中，3cos2EBEBCBC，所以30EBC，故1521ABCA．2．二次函数cbxxy2的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则cb2．【答】2．2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页（共8页）DEBAC由已知，得),0(cC，)0,24(2cbbA，)0,24(2cbbB，)44,2(2cbbD．过D作ABDE于点E，，则ABDE2，即cbcb444222，得cbcb42422，所以042cb或242cb．又042cb，所以242cb．又OBOC，即242cbbc，得2422cbcb．3．能使2562n是完全平方数的正整数n的值为．【答】11.当8n时，)21(225628nnn，若它是完全平方数，则n必为偶数．若2n，则65225622n；若4n，则17225624n；若6n，则5225626n；若8n，则2225628n。所以，当8n时，2562n都不是完全平方数．当8n时，)12(2256288nn，若它是完全平方数，则128n为一奇数的平方。设28)12(12kn（k为自然数），则)1(210kkn．由于k和1k一奇一偶，所以1k，于是2210n，故11n．4．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，如果CEDE43，58AC，D为EF的中点，则AB＝．【答】24.设yAExCE,4，则xEFxDEDF6,3．连AD，BC．因为AB为⊙O的直径，AF为⊙O的切线，所以2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页（共8页）DFBOACEDAFACDEAF,90．又因为D为Rt△AEF的斜边EF的中点，∴DFDEDA，∴AFDDAF，∴AFDACD，∴58ACAF．在Rt△AEF中，由勾股定理得222AFAEEF，即3203622yx．设zBE，由相交弦定理得BEAEDECE，即21234xxxyz，∴yzy33202①又∵DEAD，∴AEDDAE．又BECAEDBCEDAE,，∴BECBCE，从而zBEBC．在Rt△ACB中，由勾股定理得222BCACAB，即22320)(zzy，∴32022yzy．②联立①②，解得16,8zy．所以24BEAEAB．第二试（A）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数cba,,满足3cba，方程012axx和02cbxx有一个相同的实根，方程2x0xa和02bcxx也有一个相同的实根．求cba,,的值．解依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设1x是方程①和方程②的一个相同的实根，则,0,01121121cbxxaxx两式相减，可解得bacx11．……………………5分设2x是方程③和方程④的一个相同的实根，则,0,0222222bcxxaxx两式相减，可解得12cbax。所以2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共8页）121xx．……………………10分又方程①的两根之积等于1，于是2x也是方程①的根，则01222axx。又0222axx，两式相减，得1)1(2axa．……………………15分若1a，则方程①无实根，所以1a，故12x．于是1,2cba．又3cba，解得3,2bc．……………………20分二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知60BAD，90ABC，120BCD，对角线BDAC,交于点S，且SBDS2，P为AC的中点．求证：（1）30PBD；（2）DCAD．证明（1）由已知得90ADC，从而DCBA,,,四点共圆，AC为直径，P为该圆的圆心．……………………5分作BDPM于点M，知M为BD的中点，所以BPM＝12BPD＝60A，从而30PBM．……………………10分（2）作BPSN于点N，则12SNSB．又BDMBDMSBDS21,2，∴SNSBSBSBDMDSMS21232，……………………15分∴Rt△PMS≌Rt△PNS，∴30NPSMPS，又PBPA，所以1152PABNPS，故DCADAC45，所以DCAD．……………………25分三．（本题满分25分）已知pnm,,为正整数，nm．设(,0)Am，(,0)Bn，(0,)Cp，O为坐标原点．若90ACB，且)(3222OCOBOAOCOBOA．（1）证明：3pnm；（2）求图象经过CBA,,三点的二次函数的解析式．NMSDCPAB解（1）因为90ACB，ABOC，所以2OCOBOA，即2pmn．由)(3222OCOBOAOCOBOA，得)(3222pnmpnm．…………………5分又)(2)(2222mpnpmnpnmpnm)(2)(22mpnpppnm)(2)(2pnmppnm))((pnmpnm，从而有3pnm，即3pnm．……………………10分（2）由2pmn，3pnm知nm,是关于x的一元二次方程0)3(22pxpx①的两个不相等的正整数根，从而04)]3([22pp，解得31p。又p为正整数，故1p或2p．………………………15分当1p时，方程①为0142xx，没有整数解．当2p时，方程①为0452xx，两根为4,1nm．综合知：2,4,1pnm．………………………20分设图象经过CBA,,三点的二次函数的解析式为)4)(1(xxky，将点)2,0(C的坐标代入得)4(12k，解得21k．所以，图象经过CBA,,三点的二次函数的解析式为22321)4)(1(212xxxxy．…………………2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页（共8页）……25分第二试（B）一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知60BAD，90ABC，120BCD，对角线BDAC,交于点S，且DS2SB．求证：DCAD．证明由已知得90ADC，从而DCBA,,,四点共圆，AC为直径．设P为AC的中点，则P为四边形ABCD的外接圆的圆心．………………………5分作BDPM于点M，则M为BD的中点,所以BPM＝12BPD＝60A，从而30PBM．………………………10分作BPSN于点N，则12SNSB．又BDMBDMSBDS21,2，∴SNSBSBSBDMDSMS21232，………………………15分∴Rt△PMS≌Rt△PNS，∴30NPSMPS，又PBPA，所以1152PABNPS