2011年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案(A卷)

2011年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案（A卷）说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要再增加其他中间档次．一、（本题满分40分）如图，分别是圆内接四边形的对角线的中QP,ABCDBDAC,点．若，证明：DPABPA∠=∠CQBAQB∠=∠．证明延长线段ABCDQPPABCDQEFDP与圆交地另一点E，又P，则BPADPACPE∠=∠=∠是线段的中点，故，从而．又，所以△AC∩∩=CEABBDACDP∠=∠∽△，于是PCDCDPCBDAB=，即PCDABD∠=∠ABDBDPCCDAB⋅=⋅从而有BQACBDACBDACCDAB⋅=⋅=⋅=⋅)21(21，即CDBQACAB=．又，所以△ABQ∽△ACD，所以ACDABQ∠=∠DACQAB∠=∠．延长线段与圆交于另一点AQF，则DAFCAB∠=∠，故．又因为为的中点，所以∩∩=DFBCQBDDQFCQB∠=∠．又，所以DQFAQBCQBAQB∠=∠=∠∠．2011年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）答案第1页（共4页）二、（本题满分40分）证明：对任意整数，存在一个次多项式具有如下性质：−na均为正整数；（）对任意正整数，及任意个互不相同的正整数，均有4≥nn0111)(axaxaxxfnnn++++=−−L（1）,,aaL110,2m)2(≥kkkrrr,,,21L)()()()(21krfrfrfmfL≠．证明令2)()2)(1()(++++=nxxxxfL，①将①的右边展开即知是一个首项系数为1的正整数系数的下面证明满足性质（2）．对任意整数，由于，故连续的个整数n次多项式．)(xf)(xft4≥nnnttt+++,,2,1L中必有一个为4的倍数，从而由①知．因此，对任意个正整数，有．但对任意正整数，有，故，从而．所以符合题设要求．)4(mod2)(≡tf)2(≥kkkrrr,,,21L)4(mod02)()()(21≡≡kkrfrfrfLm)4(mod2)(≡mf)4)(mod()()()(21krfrfrfmfL≡/)()()()(21krfrfrfmfL≠)(xf2011年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）答案第2页（共4页）三、（本题满分50分）设是给定的正实数，)4(,,,21≥naaanLnaaaL21．对任意正实数r，满足)1(nkjiraaaajkij≤≤=−−的三元数组的个数记为．证明：),,(kji)(rfn4)(2nrfn．的，满足证明对给定，且)1(njjnkji≤≤1raaaajkij=−−①的三元数组的个数记为．注意到，若固定，则显然至多个使得①成立．因),,(kji)(rgjji,kji有一，即有种选法，故同样地，若固定，则至多有一个使得①成立．因，即有种选法，故i1−j1)(−≤jrgj．kj,ijkkjn−jnrgj−≤)(．从而},1min{)(jnjrgj−−≤．因此，当为偶数时，设，则有2)()()()(mmjjmjjnjjnrgrgrgrfnmn2=∑∑∑−=−=−=+==121212)1(2)1()2()1(1212−+−=−+−≤∑∑−+==mmmmjmjmmjmj4222nmmm=−=．=+==mmjjmjjjjnrgrgrgrf2122)()()()(当n为奇数时，设12+=mn，则有∑∑∑+==−n1∑∑+==−++−≤mmjmjjmj212)12()1(422nm==．2011年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）答案第3页（共4页）四、（本题满分50分）设A是一个93×的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个)91,31(≤≤≤≤×nmnm方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中数的最大值中的一个若它不包含于任何一个“好矩形”．求A“坏格”个．解首先证明A中“坏格”不多于25个．11×的小方格为“坏格”，用反证法．假设结论不成立，则方格表A中至多有1个小方格不是“坏格”．由表格的对称性，不妨假设此时第1行都是“坏格”．设方格表A第i列从上到下填的数依次为9,,2,1,,,L=icbaiii．记iiikiik，这里9,,2,1,0,)(,11L=+==∑∑==kcbTaSkk000==TS．我们证明：三组数；及910,,,SSSL910,,,TTTL991100,,,TSTSTS+++L都是模10的完全剩余系．事实上，假如存在90,,≤≤nmnm，使(modnmSS)10≡，则，即第1行的第至第列组成一个“好矩形”，与第1行都是“坏格”矛盾．mm)10(mod01≡−=∑+=mnnmiiSSa1+mn又假如存在90,≤≤nn，使)10(modnmTT≡，则,)10(mod0)(1≡−=+∑+=mnnmiiiTTcb，即第2行至第3行、第列至第列组成一个“好矩形”，从而至少有2个小方格不是“坏也不存在1+mn格”，矛盾．类似地，90,,≤≤nmnm，使)10(modnnmmTSTS+≡+．0≡++++≡+≡∑===LkkkkkkkTST，所以，矛盾！故假设不成立，即“坏格”不可能多于25个．不填10的小方格都是“坏格”，此时有上所述，“坏格”个数的最大值是25．1112111110因此上述断言得证．故)10(mod59210)(90909≡∑∑S)10(mod055)(909090≡+≡+≡+∑∑∑===kkkkkkkTSTS另一方面，构造如下一个93×的方格表，可验证每个25个“坏格”．1111111111111011112综2011年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）答案第4页（共4页）