2011年天津大学生数学竞赛

2011年天津市大学数学竞赛试题(理工类)一.填空题（本题15分，每小题3分）:1.设()fx是连续函数,且0()lim41cosxfxx,则01()lim1xxfxx2e.2.设223()2xfxaxbx,若lim()0,xfx则a2,b4.3.1elndxxxxeln.xxC4.设(,)fxy是连续函数,且(,)(,)dd,Dfxyxyfxyxy其中D由x轴、y轴以及直线1xy围成,则(,)fxy1.12xy5.椭球面22221xyz平行于平面20xyz的切平面方程为11202xyz和1120.2xyz二.选择题（本题15分，每小题3分）:1.设()(2)ln(1),fxxx则()fx在0x处(A)(0)2f,(B)(0)0f,(C)(0)2f,(D)不可导.答:(A)2.设函数()yfx具有二阶导数,且满足方程sine0.xyy已知0()0,fx则(A)()fx在0x的某个邻域中单调增加,(B)()fx在0x的某个邻域中单调增少,(C)()fx在0x处取得极小值,(D)()fx在0x处取得极大值.答:(C)3.图中曲线段的方程为()yfx,函数()fx在区间[0,]a上有连续的导数,则积分0()daxfxx表示(A)直角三角形AOB的面积,(B)直角三角形AOC的面积,(C)曲边三角形AOB的面积,(D)曲边三角形AOC的面积.答:(D)OxCyA(,0)Ba()yfx4.设在区间[,]ab上的函数()0,fx且()0,fx()0.fx令1()d,baSfxx2()(),Sfbba31[()()](),2Sfafbba则(A)123,SSS(B)312,SSS(C)213,SSS(D)231.SSS答:(C)5.设曲面22{(,,)|,01},xyzzxyz取上侧为正,1是在0x的部分,则曲面积分(A)dd0,xyz(B)1dd2dd.zxyzxy(C)122dd2dd,yyzyyz(D)122dd2dd,xyzxyz答:(B)三.(6分)设函数2002[(1)()d]d0sin00xttuut,x,fxx,x.其中函数处处连续.讨论()fx在0x处的连续性及可导性.解220002000[(1)()d]d(1)()dlim()limlim2xxxxtxtuutxuufxxx220000()d()dlimlim22xxxxxuuuuxx202()0lim0(0)2xxxf因此,()fx在0x处连续.200300[(1)()d]d()(0)limlimxxxttuutfxfxx2020(1)()dlim3xxxuux22002200()d()d11limlim33xxxxxuuuuxx1(0)3因此,()fx在0x处可导,且1(0)(0).3f四.(6分)设函数()xxt由方程cos0txx确定,又函数()yyx由方程2e1yxy确定,求复合函数(())yyxt的导数0dd.tyt解方程cos0txx两边对t求导ddcossin0.ddxxxtxtt当t=0时,x=0,故000dcos1.dsin1ttxxxttx方程2e1yxy两边对x求导2dde0.ddyyyyxxx当0x时,2,y故0220d2.dexyyxyyxx因此,000ddd.ddd2txtyyxtxt五.(6分)设函数()fx在(,)上二阶可导，且0()lim0xfxx，记10()()xfxtdt，求)(x的导数，并讨论)(x在0x处的连续性.解由已知的极限知(0)0,(0)0,ff从而有10(0)(0)d0.ft当0x时,1100011()()()()d()()d,xfxxfxtdtfxtxtfuuxxx从而有(),0()0,0.fxxxxx因为00()lim()lim0(0),xxfxxx所以,()x在0x处连续.当0x时,2()()(),xfxfxxx在0x处,由(0)0,有2000()(0)()()1(0)limlimlim(0)22xxxxfxfxfxxx所以,2()(),0()1(0),0.2xfxfxxxxfx而200000()()()()lim()limlimlimlim2xxxxxfxfxfxfxxxxxx001()1()(0)1limlim(0)(0),222xxfxfxffxx故()x在0x处连续.六.(7分)设函数()yyx在(,)上可导,且满足:22,(0)0.yxyy(Ⅰ)研究()yx在区间(0,)的单调性和曲线()yyx的凹凸性.(Ⅱ)求极限30()lim.xyxx解(Ⅰ)当0x时,有220,yxy故()yx在区间(0,)单调增加.从而当0x时,22yxy也单调增加.可见,曲线()yyx在区间(0,)向下凸.(或当0x时,可得222222()0.yxyyxyxy可见,曲线()yyx在区间(0,)向下凸.)(Ⅱ)由题设知,(0)(0)0.yy应用洛必达法则22322000()()limlimlim33xxxyxyxxyxxx22011111lim(0).33333xyyx七.(7分)设()fx在[0,1]上具有连续导数,且0()1,(0)0.fxf试证211300()d][()]d.fxxfxx证令2300()()d[()]d,xxFxfttftt则()Fx在[0,1]连续,且对(0,1)x,30()2()()d[()]xFxfxfttfx20()2()d().xfxfttfx又由题设知,当(0,1)x时,()0.fx令20()2()d(),xgxfttfx则()gx在[0,1]上连续,且()2()[1()]0,(0,1),gxfxfxx故有()(0)0(0,1).gxgx因此()0,(0,1),Fxx于是()Fx在[0,1]上单调增加,()(0)0,[0,1].FxFx取1x,即得211300(1)()d[()]d0.Ffttftt所证结论成立.八.(7分)设函数()yfx具有二阶导数,且()0.fx直线aL是曲线()yfx上任意一点(,())afa处的切线,其中[0,1].a记直线aL与曲线()yfx以及直线0,1xx所围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为().Va试问a为何值时()Va取得最小值.解切线aL的方程为()()(),yfafaxa即()()().yfaxafafa于是10()2[()()()()]dVaxfxfaxafafax10112()d()()().322axfxxfafafa可见,()Va在[0,1]连续,在(0,1)可导.令1()2[()()]()(32)0323aVafafafaa,由于()0,fa()Va在(0,1)内有唯一的驻点2.3a并且,当2(0,)3a时,()0Va;当2(,1)3a时,()0,Va因此,()Va在23a处取得最小值.九.(7分)计算(sin)d(cos1)d,Lyyxxyy其中L为从点(0,0)O沿圆周222xyx在第一象限部分到点(1,1)A的路径.解令sin,cos1,PyyQxy则cos(cos1)1.QPyyxy取点(1,0).B作有向直线段,OB其方程为0(yx从0变到1).Oxy1aaL()yfxOxy(1,1)A(1,0)B作有向直线段,BA其方程为1(xy从0变到1).由曲线L、有向直线段AB和BO形成的闭曲线记为0L(沿顺时针方向),0L所围成的区域记为D,则(sin)d(cos1)dLyyxxyy0()((sin)d(cos1)d)ABBOLyyxxyyd(sin)d(cos1)dDBAyyxxyy(sin)d(cos1)dOByyxxyy101(cos1)d04yy1sin11.4十.(8分)设（1）有向闭曲线是由圆锥螺线OA：zyx,sin,cos，（从0变到2）和有向直线段AO构成，其中0,0,0O，2,0,2A；（2）闭曲线将其所在的圆锥面22zxy划分成两部分，是其中的有界部分.（Ⅰ）如果xzF,1,表示一力场，求F沿所做的功W；（Ⅱ）如果xzF,1,表示流体的流速，求流体通过流向上侧的流量.(单位从略）解（Ⅰ）作有向直线段,AO其方程为xzy0(x从2变到0).所求F沿所做的功为dddWzxyxz(ddd)OAAOzxyxz20cossinsincoscosd02dxxx220(cossin)d024.（Ⅱ）所在的圆锥面方程为22zxy，曲面上任一点处向上的一个法向量为2222(,,1)(,,1),xyxynzzxyxy在xOy面上的投影区域为D,在极坐标系下表示为:0,02.r故所求流体通过流向上侧的流量为dddddd()()ddxyzyzzxxxyzzzxxy22ddyxxxyxy200d2cossindrrr22302cossind3226.Oxy2注:(Ⅰ)的另一解法应用Stokes公式，可得W2dd2ddyzxzxy222ddyxyxy222000sin2ddsindrrrr24.十一.(8分)设函数(,)uuxy在心形线:1cosLr所围闭区域D上具有二阶连续偏导数,n是在曲线L上的点处指向曲线外侧的法向量(简称外法向),un是(,)uxy沿L的外法向的方向导数,L取逆时针方向.(Ⅰ)证明:ddd.LLuuusxynyx(Ⅱ)若222221,uuxyyxy求dLusn的值.(Ⅰ)证由方向导数的定义d(cossin)d.LLuuussnxy其中,是n相对于x轴正向的转角.设1是L的切向量相对于x轴正向的转角,则1,2或1.2故11d(sincos)d.LLuuussnxydd.Luuxyyx(Ⅱ)解应用格林公式22222d()dd(1)ddDDLuuusxyxyyxynxy由对称性1cos00d1dd2ddDLusxyxrrn203(1cos)d.2十二.(8分)设圆222xyy含于椭圆22221xyab