2011年新知杯上海市高中数学竞赛试题及解答

2011年新知杯上海市高中数学竞赛试题2011年3月27日上午8：30——10：30说明：解答本试题不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4小题每题7分，后4小题每题8分）1.方程组271211xxyxy的解集为.2.在平面直角坐标系中，长度为1的线段AB在x轴上移动（点A在点B的左边），点P、Q的坐标分别为0,1、1,2，则直线AP与直线BQ交点R轨迹的普通方程为.3.已知M是椭圆221169xy在第一象限弧上的一点，MNy轴，垂足为N，当OMN的面积最大时，它的内切圆的半径r4.已知ABC外接圆半径为1，角A、B、C的平分线分别交ABC外接圆于1A、1B、1C，则111coscoscos222sinsinsinABCAABBCCABC的值为.5.设3sin112fxaxbx，其中a、b为实常数，若lg55f，则lg20f的值为.6.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点3,Aa，3,Bb使045AOB，其中a、b均为整数，且ab，则满足条件的数对,ab共有组.7.已知圆C的方程为224210xyxy（圆心为C），直线0tan102yx与圆C交于A、B两点，则直线AC，BC倾斜角之和为.8.甲、乙两运动员乒乓球比赛在进行中，甲必须再胜2局才最后获胜；乙必须再胜3局才最后获胜.若甲、乙两人每局取胜的概率都为12，则甲最后获胜的概率是.二、解答题：9.（本题满分为14分）对于两个实数a、b，min,ab表示a、b中较小的数，求所有非零实数x，使41min,48min,xxxx.10.（本题满分为14分）如图，在ABC中，O为BC中点，点M，N分别在边AB，AC上，且6AM，4MB，4AN，3NC，090MON.求A的大小.11.（本题满分为16分）对整数k，定义集合50501,kSnknknZ，问0S，1S，2S，…，599S这600个集合中，有多少个集合不含完全平方数？12.（本题满分为16分）求所有大于1的正整数n，使得对任意正实数1x，2x，…，nx，都有不等式21212231nnxxxnxxxxxx.2011年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题解答及评分参考意见一.填空题(7'48'460')1.(0,1),(2,1),(3,4),(4,5);2.y(x-2)=-2;3.22;4.2;5.-1;6.6;7.200o;8.1116.二.解答题9.解:当0x时,4424,xxxx当0x时,444,xx故min4,4xx=4,04,0.xxxx；又min1,xx=1,101;,10x1.xxxxx或或(4’)所以有以下四种情形:(1)当1x时,原不等式为84x,2x.此时,2,x.(2)当01x时,原不等式为148,2xx.此时,1(0,]2x.(9’)(3)当10x时,原不等式为2484.xxxx此时,(1,0)x.(4)当1x时,原不等式为24487xxxx.此时,(,1]x.综上所述,满足题意的x的取值范围为1(,0)(0,][2,).2(14’)10.解:延长NO至P,使OP=ON,又BO=OC,可知BPCN为平行四边形,//BPAC,BP=CN=3.(3’)连接MP,MQ在NP的垂直平分线上,MPMN(6’)令MN=a,则在AMNV和MBPV中,由余弦定理得2222222264264cos5248cos,34234cos2524cos.aMNAAaMPAA(10’)消去2a,得2772cos0A,于是33cos,arccos.88AA(14’)11.解:22(1)21,2150()24()xxxxxNxxNQ.212(241)625,SA64NM34BOCP0112,,,SSSL中含有的平方数都不超过225,且每个集合都是由连续50个非负整数所组成的,故每个集合至少含有1个平方数.(6’)1314599,,,SSSL中,若含有平方数,都不小于226.而当26x时,2x+153,从而1314599,,,SSSL中,每个集合至多含有1个平方数.另一方面,599S中最大数是60050129999,2217329999174,1314599,,,SSSL中含有平方数.则不超过2173.(12’)1314599,,,SSSL中有且仅有173-25=148个集合含有平方数.综上所述,01599,,,SSSL中,有600-13-148=439个集合不含有平方数.(16’)12.解:当n=2时,不等式为2121221()2(),xxxxxx即212()0,xx故n=2满足题意.(2’)当n=3时,不等式2123122331()3(),xxxxxxxxx等价于222122331()()()0,xxxxxx故n=3满足题意.(5’)当n=4时,不等式为2123412233441()4()xxxxxxxxxxxx21234()0xxxx.故n=4满足题意.(8’)下证当n4时,不等式不可能对任意正实数12,,,nxxxL都成立.取123411,,5(2)nxxxxxnL则原不等式为22123[11(2)](15(2)5(2)25(2)nnnnnn21212(3),255(2)25(2)nnnnnn这与121525n矛盾.所以满足题意的正整数n为2,3,4.(16’)