2011年浙江省高中数学竞赛试题

2011年浙江省高中数学竞赛试题一、选择题（本大题共有10小题，每题5分，共50分）1.已知53[,]42，则1sin21sin2可化简为（）A．2sinB.2sinC.2cosD.2cos2．如果复数21aii的模为4，则实数a的值为（）A.2B.22C.2D.223.设A，B为两个互不同集合，命题P：xAB，命题q：xA或xB，则p是q的（）A.充分且必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分且非必要条件4.过椭圆2212xy的右焦点2F作倾斜角为45弦AB，则AB为（）A.263B.463C.423D.4335.函数150()510xxxfxx，则该函数为（）A.单调增加函数、奇函数B.单调递减函数、偶函数C.单调增加函数、偶函数D.单调递减函数、奇函数8.在平面区域(,)||1,||1xyxy上恒有22axby，则动点(,)Pab所形成平面区域的面积为（）A.4B.8C.16D.329.已知函数()sin(2)6fxxm在0,2上有两个零点，则m的取值范围为（）A.1,12B1,12C.1,12D.1,1210.已知[1,1]a，则2(4)420xaxa的解为（）A.3x或2xB.2x或1xC.3x或1xD.13x二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11.函数()2sin3cos2xfxx的最小正周期为_________。12.已知等差数列na前15项的和15S=30，则1815aaa=_________.13.向量(1,sin)a，(cos,3)b，R，则ab的取值范围为。14.直三棱柱111ABCABC，底面ABC是正三角形，P，E分别为1BB，1CC上的动点（含端点），D为BC边上的中点，且PDPE。则直线,APPE的夹角为____。15．设yx,为实数，则)(max22104522yxxyx____________。16.马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有__________种。（用组合数符号表示）17.设zyx,,为整数，且3,3333zyxzyx，则222zyx____。三、解答题（本大题共3小题，每小题17分，共计51分）18.设2a，求xxy)2(在]2,[a上的最大值和最小值。19.给定两个数列nx，ny满足100yx，)1(211nxxxnnn，)1(21121nyyynnn。证明对于任意的自然数n，都存在自然数nj，使得njnxy。20.已知椭圆2222154xy，过其左焦点1F作一条直线交椭圆于A，B两点，D(,0)a为1F右侧一点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过1F，求a的值。四、附加题（本大题共2小题，每小题25分，共计50分）21.在锐角三角形ABC中，3A，设在其内部同时满足PBPA和PCPA的点P的全体形成的区域G的面积为三角形ABC面积的31。证明三角形ABC为等边三角形。22.设Rcba,,，且3cba。求证：23222acaccbcbbaba，并指明等号成立的条件。