2011全国高中数学竞赛不等式试题

2011全国高中数学竞赛不等式试题3、不等式2log211log3212xx0的解集是()A．[2，3]B。（2，3）C。[2，4]D。（2，4）[答案]3、解：原不等式等价于222331log1log0222log10xxx设22310log1,220ttxtt则有解得01t。即20log11,24xx。故选C。2003年全国高中数学联赛(第一试)7．不等式322430xxx的解集是______________9.已知2430,,AxxxxR1220,2750,.xBxaxaxxR若AB，则实数a的取值范围是_____________.13．设35,2x证明不等式2123153219.xxx[答案]7.3,215215,3.提示：原不等式可以化为:01||3||2xxx9.14a提示：3,1A,令axfx12,5722xaxxg,则只需xgxf,在（1，3）上的图象均在x轴的下方，其充要条件是03010301ggff,由此推出14a;13．证明：由bdacdacdbcabdcbadcba2)(22222可得,22222dcbadcba当且仅当a=b=c=d时取等号……5分则xxxxxxx315321123153212192142x……………………………………………………15分因为xxx315,32,1不能同时相等，所以1923153212xxx……………………………………20分2001年全国高中数学联赛试卷4．如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是（）（A）k=38（B）0k≤12（C）k≥12（D）0k≤12或k=386．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（）（A）2枝玫瑰价格高（B）3枝康乃馨价格高（C）价格相同（D）不确定．10.不等式232log121x的解集为．11．函数232xxxy的值域为[答案]．4．D6．A10．,42,11,07211．,223,12000年全国高中数学联赛(第一试)10．已知)(xf是定义在R上的函数，1)1(f且对任意Rx都有5)()5(xfxf1)()1(xfxf若xxfxg1)()(，则)2002(g．11．若1)2(log)2(log44yxyx，则||||yx的最小值是．12．使不等式xaxaxcos1cossin22对一切Rx恒成立的负数a的取值范围是．[答案]10.解：由xxfxg1)()(，得1)()(xxgxf，所以5)1()(1)5()5(xxgxxg1)1()(1)1()1(xxgxxg即)()5(xgxg，)()1(xgxg∴)()1()2()4()5()(xgxgxgxgxgxg∴)()1(xgxg即)(xg是周期为1的周期函数，又1)1(g，故1)2002(g11.解：4)2)(2(0202yxyxyxyx440||222yxyx由对称性只考虑0y，因为0x，所以只须求yx的最小值．令uyx公代入4422yx，有0)4(2322uuyy．这是一个关于y的二次方程显然有实根，故0)3(162u，∴3u当334x，33y时，3u．故||||yx的最小值为312.解：原不等式可化为4)1()21(cos222aaax∵1cos1x，0a，021a∴当1cosx时，函数2)21(cosaxy有最大值2)211(a，从而有4)1()211(222aaa，整理得022aa∴1a或2a，又0a，∴2a1999年全国高中数学联合竞赛三、(满分20分)已知当x[0,1]时，不等式0sin)1()1(cos22xxxx恒成立，试求的取值范围．[答案]13.若对一切x［0，1］，恒有f(x)=0sin)1()1(cos22xxxx，则cosθ=f(1)0,sinθ=f(0)0.(1)取x(0，1)，由于xxxxxf1cossin12，所以，0xf恒成立，当且仅当01cossin2(2)先在［0,2π］中解(1)与(2)：由cosθ0,sinθ0，可得0θ2.又由（2）得sin2θ21注意到02θπ，故有62θ65,所以，12θ125.因此，原题中θ的取值范围是2kπ+12θ2kπ+125,kZ.或解：若对一切x∈［0，1］，恒有f(x)=x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sinθ0，则cosθ=f(1)0,sinθ=f(0)0.(1)取x0=∈(0，1)，则．由于+2x(1-x)，所以，0f(x0)=2x0(1-x0)．故-+0(2)反之，当(1)，(2)成立时，f(0)=sinθ0，f(1)=cosθ0，且x∈(0，1)时，f(x)≥2x(1-x)0．先在［0,2π］中解(1)与(2)：由cosθ0,sinθ0，可得0θ.又-+0,,sin2θ,sin2θ,注意到02θπ，故有2θ,所以，θ.因此，原题中θ的取值范围是2kπ+θ2kπ+,k∈Z首届中国东南地区数学奥林匹克（2004年7月11日8：00—12：00温州）五、已知不等式62(23)cos()2sin2364sincosaa对于0,2恒成立，求a的取值范围。[答案]五、解：设sincosx，则22cos(),sin21,1,242xxx从而原不等式可化为：26(23)2(1)36axxax即2622223340,2()3()0xaxxaxxaxaxxx，2(23)01,2(1)xxaxx原不等式等价于不等式（1）1,2,230xx（1）不等式恒成立等价于201,2xaxx恒成立。从而只要max2()(1,2)axxx。又容易知道2()fxxx在1,2上递减，max2()3(1,2)xxx。所以3a。2004四年全国高中数学联合竞赛（天津初赛）2．若ba0，且1ba，则下列各式中最大的是（C）（A）1（B）1loglog22ba（C）b2log（D）)(log32232babbaa2004年全国高中数学联赛四川省初赛1．已知不等式m2＋(cos2θ－5)m＋4sin2θ≥0恒成立，则实数m的取值范围是AA.0≤m≤4B.1≤m≤4C.m≥4或x≤0D.m≥1或m≤08．不等式|x2－2|≤2x＋1的解集为__________________.8、{x|2－1≤x≤3}10．若0＜a、b、c＜1满足条件ab＋bc＋ca＝1，则11－a＋11－b＋11－c的最小值是____.3(3＋3)22005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛10．设命题P:cc2和命题Q:对任何Rx，0142cxx有且仅有一个成立，则实数c的取值范围是。【解】：命题P成立可得10c；命题Q成立可得2121c。因此，要使命题P和命题Q有且仅有一个成立，实数c的取值范围是1,210,212005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛3.设0ab,那么21()abab的最小值是A.2B.3C.4D.53,C由0ab,可知22210()()424aababba所以，222144()aababa.故选C．选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库(按ctrl点击打开)选校网（）是为高三同学和家长提供高考选校信息的一个网站。国内目前有2000多所高校，高考过后留给考生和家长选校的时间紧、高校多、专业数量更是庞大，高考选校信息纷繁、复杂，高三同学在面对高考选校时会不知所措。选校网就是为考生整理高考信息，这里有1517专业介绍，近2000所高校简介、图片、视频信息。选校网，力致成为您最强有力的选校工具！产品介绍：1.大学搜索：介绍近2000所高校最详细的大学信息，包括招生简章，以及考生最需要的学校招生办公室联系方式及学校地址等.2.高校专业搜索：这里包含了中国1517个专业介绍，考生查询专业一目了然，同时包含了专业就业信息，给考生报考以就业参考。3.图片搜索：这里有11万张全国高校清晰图片，考生查询学校环境、校园风景可以一览无余。4视频搜索：视频搜索包含了6162个视频信息，大学视频、城市视频、访谈视频都会在考生选校时给考生很大帮助。5.问答：对于高考选校信息或者院校还有其他疑问将自己的问题写在这里，你会得到详尽解答。6新闻：高考新闻、大学新闻、报考信息等栏目都是为考生和家长量身定做，和同类新闻网站相比更有针对性。7.千校榜：把高校分成各类，让考生选校时根据类别加以区分，根据排名选择自己喜欢的高校。8选校课堂：这里全部的信息都是以考生选校、选校技巧、经验为核心，让专家为您解答高考选校的经验和技巧。9.阳光大厅：考生经过一年紧张的学习生活心理压力有待缓解和释放，阳光大厅给家长以心灵启示，给考生心里以阳光。10.港澳直通：很多考生都梦想去香港澳门读大学，港澳直通，给考生的梦想一个放飞的地方，港澳直通囊括了港澳大学的所有信息，将一切更直观的呈现给考生。11.选校社区：注册您真是的信息，在这里可以和大家分享您所在城市的到校信息，读到好的选校文章也可以拿到这里，让大家共同品尝，您还可以加入到不同的大学、专业、城市群组，和大家一起讨论这些话题分享信息。选校网，为你整合众多高考选校信息，只为考生、家长能够从中受益。让我们共同为考生的未来，努力！我们在不断完善，以更加符合家长和同学们的需求。陆续我们将推出城市印象频道，让大家了解学校所在城市的详细情况；预报名系统(yubaoming.com)，为您更加准确地根据高考分数填报志愿提供利器.......一切，贵在真实。