2011数学竞赛之窗赛前7套5解答

2011年全国高中数学联赛冲刺模拟卷（5）第一试（时间：8：00-9：20）学校：_____________姓名：________________成绩：____________一．填空题（每题8分，共8题）1．若实数,xy满足2max1,12xxyx，则,2uxyxy的取值范围是．[解]:在坐标系xOy中，分别画出曲线21,1yxyx及2yx的图象，它们围成一个曲边三角形ABC，其中13513,22A，13,,1,022BC．因此，问题转化为直线系2uxy与曲边三角形ABC有公共点时，直线的纵截距u的取范围．数形结合易知:过点A时，u取最大值73132；过点B时，u取最小值12．因此,2uxyxy的取值范围是闭区间17313,22．2．三个学生独立的参加考试，随机变量x代表通过考试的学生数，其分布列如下：0123213315302060．三个学生中通过考试的概率最小的是．解：设123,,ppp分别表示这三个学生通过的概率.123123(,,){1,2,3}123(,,){1,2,3}1232(0)(1)1,513(1)(1)(1)23,303(2)(1)3,201(3).60iiijiijiijkiijijkiijijkijijkijpxppppppppxppppppppppxpppppppppxppp把上面的123,,iijiijpppppp看做三个未知数的线性方程，解得：1234711,,.60560iijiijpppppp由韦达定理可以把123,,ppp看做为下面方程的根3247110,60560xxx即111()()()0.345xxx所以三个学生通过的概率分别为111,,345.3．若在ABC中有2sinsin()cos1BABA,2sinsin()cos0CBCB，则ABC的最大内角的值为．答：cos(2)1,cos(2)0ABBC，可得2,36ABC。答案：23。4．已知数列1001121111,,nnnnnaaaaaaaa,nN且100=10,a则2011a．解：由101121111,nnnaaaaaaa01121111,nnnaaaaaaa两式相减得111nnnnaaaa,所以2211nnaa,从而2220111002011100aa所以220112011a，即20112011a5．已知,,,,,abcxyz为复数，且,,222bccaababcxyz，若567,2011xyyzzxxyz，则xyz．解：由,,222bccaababcxyz得11bcabcxaa所以11axabc，同理11,11bcyabczabc,从而1111111xyz，即(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)yzzxxyxyz整理得2()3()44895xyzxyyzzxxyz6．若X是棱长为a的正四面体ABCD内一点，以X在四面体ABCD的四个面上的射影为顶点的新四面体的体积的最大值为______________．解：设正四面体ABCD的四个面的面积满足1234SSSSS；1234xxxxh，h表示正四面体ABCD的高。设O为正四面体ABCD的中心，1234,,,OOOO分别是O在四个面上的射影，则有12312423413414VOOOOVOOOOVOOOOVOOOOV,此处1234VVOOOO,在正四面体ABCD中任取一点X，有123123123123414VXXXXVXXXXxxxVOOOOrrrV,此处12344hrOOOOOOOO,所以123123316VVXXXXxxxh,同理可得234234316VVXXXXxxxh，134134316VVXXXXxxxh，124124316VVXXXXxxxh则1234123234134134316VVXXXXxxxxxxxxxxxxh令1234,axxbxx，则abh所以2234121234123433222322161622164442xxxxVVVXXXXxxbaxxbahhVababVVababVhhh当1234,xxxx，即ab时等号成立，此时XO,即所求的点X是正四面体ABCD的中心。7．若正实数,xy满足22(1)(1)2011xxyy，则xy的最小值为．解：令221,'1txxtyy，则1·'201tt，且0,'0tt211,xxt所以12xtt，同理12''ytt所以111111005(')('·)(1)(')2'2'2011xytttttttttt·'20102010201120112011tt当且仅当'2011tt时取到等号，所以xy的最小值201020112011。8．设5432543210()fxaxaxaxaxaxa，其中,(0,1,2,,5)iZia，若对于任意的实数{0,1,2,3,4,5}x均有0()120fx,则丌同的函数()fx的个数为．解：定义：对于每个正整数i，()(1)(2)(1)ixxxxxi，(0)1x。则有当,xxNi时，必有()0ix引理：每个n次多项式()fx一定可以惟一的表示为(()(10))10(),0nnnnnaxafxaxax。证明略。回到原题：设(5)(40)54(),fxaxaxa首先对于0a有120种不同的取法；若011,,,iaaa确定，则对于ia，只要()10(1)10)20(iiiifiaiaia，从而ia共有120!i种不同的取法。所以所求丌同的函数()fx的个数为5012086400000ii二．解答题9．（本题满分16分）已知221,1,2,nnFn，求证：21123122213nnFFFF．证明：因为12222221(2)1(21)(21)kkkk，令221kkx则1222111111111()()22212121kkkkkkxxf从而有1112kkkfxx，所以111222kkkkkkfxx所以21111231122222()nkknknkkffffxx1111212133nnnnxxx证毕。10．（本题满分20分）设N*,,,nkkrrn，并称r个连续的自然数为r连数，现从1,2,3,,n中任取（丌放回）k个，求其中含有r连数的丌同方式数(,,)Snkr．11．（本题满分20分）已知内接于抛物线2yx的梯形ABCD,其中//,ADBCADBC，，,MN分别为,ADBC的中点，K是对角线,ACBD的交点，且,KMmKNn，求梯形ABCD的面积（用,mn表示）．解：设AD的方程为ykxa，BC的方程为ykxbn,tak为直线AD的倾斜角。设11223344(,),(,),(,),(,)AxyBxyCxyDxy,(),(,),(,)MMNNkkMxyNxyKxy由2yxykxa得20xkxa由2yxykxb得20xkxb所以2314222MNxxxxkxx直线AC的方程为1313()yxxxxx，直线BD的方程为2424()yxxxxx由13132424()()yxxxxxyxxxxx得13241324()kxxxxxxxxx132414342334()()()xxxxxxxxxxkxx13221412()()()xxxxxxkxx若0k，则显然有12340xxxx，若0,k同样有12340xxxx所以2kMNkxxx从而,,KMN三点共线。所以22141313()22MKxxkmyyxxxx21413131414131344341()()()()2221()()2xxkkxxxxxxxxxxxxxxxxx同理23211()()2KNnyyxxxx又梯形ABCD的面积1(||||)|||cos2|SADBCMN241321()1|||o|cs2xxxxkMN41321()||2xxxxMN41321()()2xxxxmn4341232111()()()()22mnxxxxxxxx4341231()()2xxxxxx4341232111()()()()22mnxxxxxxxx2434123431()()()2xxxxxxxx因为ADBC，所以4132,xxxx即430xx，即mn所以2224132431()()()()()2mnmnmnmnSxxxxmnxxmnmn2011年全国高中数学联赛冲刺模拟卷（5）加试（时间：9：40-12：10）学校：_____________姓名：________________成绩：____________一（40分）、设I为非等腰锐角三角形ABC的内心，内切圆与边AB交于一点Q，T为AB上一点，满足IT//CQ，过T与内切圆相切于k(不与Q重合)的直线与CA、CB分别交于L、N．求证：LN的中点为T．证明:设1M为CQ与QI的交点，连结,,KQKM延长CQ交LN于M，过1M作QI的切线11LN交CA，CB分别为11.LN，由于,TQTK均为QI的切线，故,QKIT又,CQIT∥所以QKCQ即1,MKI，三点共线．又1KIIM及,ITCQ∥故T为的中点．即.(1)MTTK又11LN，LN均为QI的切线，所以11LN∥LN．所以11CLN与CLN关于点C位似，而1M为11CLN的旁切圆与11LN的切点，故M为CLN的旁切圆与LN的切点．所以12()LMNCNLLC又12()NKNCNLLC故(2)LMNK由(1),(2)可知，LTTN．二（40分）设非零实数a，b，c(b0)使得ax2+bx-c=0的两个根也是x3+bx2+ax-c=0的根．求证:abc3125108．证明：设x1、x2为f(x)=ax2+bx-c=0，g(x)=x3+bx2+ax-c=0的两个不同根．则f(0)=g(0)=-c不为0．设F(x)=g(x)-f(x)，则F有三个不同根0，x1，x2．故F(x)=x(x-x1)(x-x2)．由韦达定理，x1+x2=－(b－a)，x1x2=a－b以及x1+x2=－ba，x1x2=－ca，得到：ab=a2+b，ab=a2+c．从而，a1．当a=1时，由ab=a2+b得a=0．所以，a1．有b=a2a-1，c=b，则abc=a3(a-1)2，a1．该函数在a=53时取最小值3125108．N1L1JPLNKTQICAB三（50分）设p3的素数，rj为整数jp-1-1p被p除的余数，其中j=1，2，…，p-1．证明：r1+2r2+…+(p-1)rp-1≡p+12(modp)解：因为(j，p)=1，所以jp-1-1p为正整数．设jp-1-1p=ajp+rj，a