2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式22||()||aabcabc可以化简为（）．（A）2ca（B）22ab（C）a（D）a1（乙）．如果22a，那么11123a的值为（）．（A）2（B）2（C）2（D）222（甲）．如果正比例函数y=ax（a≠0）与反比例函数y=xb（b≠0）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2）2（乙）．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．（A）10（B）9（C）7（D）53（甲）．如果ab，为给定的实数，且1ab，那么1121aabab，，，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．（A）1（B）214a（C）12（D）143（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．30ADC，AD=3，BD=5，则CD的长为（）．（A）23（B）4（C）52（D）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）．OABCED（A）1（B）2（C）3（D）44（乙）．如果关于x的方程20xpxqpq（，是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）．（A）5（B）6（C）7（D）85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123pppp，，，，则0123pppp，，，中最大的是（）．（A）0p（B）1p（C）2p（D）3p5（乙）．黑板上写有111123100，　，　，，　共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数ab，，然后删去ab，，并在黑板上写上数abab，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）．（A）2012（B）101（C）100（D）99二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否487？”为一次操作.如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是.6（乙）.如果a，b，c是正数，且满足9abc，111109abbcca，那么abcbccaab的值为．7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为215，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是.7（乙）.如图所示，点A在半径为20的圆O上，以OA为一条对角线作矩形OBAC，设直线BC交圆O于D、E两点，若12OC，则线段CE、BD的长度差是。8（甲）.如果关于x的方程x2+kx+43k2－3k+92=0的两个实数根分别xyOECABD为1x，2x，那么2012220111xx的值为．8（乙）．设n为整数，且1≤n≤2012.若22(3)(3)nnnn能被5整除，则所有n的个数为.9（甲）.2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分.比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为.9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称xyz（，，）是三角形数．若abc（，，）和111abc（，，）均为三角形数，且a≤b≤c，则ac的取值范围是.10（甲）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD=DC.分别延长BA，CD，交点为E.作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F.若AE=AO，BC=6，则CF的长为.10（乙）．已知n是偶数，且1≤n≤100．若有唯一的正整数对ab（，）使得22abn成立，则这样的n的个数为．三、解答题（共4题，每题15分，共60分）11（甲）．已知二次函数232yxmxm（），当13x时，恒有0y；关于x的方程2320xmxm（）的两个实数根的倒数和小于910．求m的取值范围．11（乙）.如图所示，在直角坐标系xOy中，点A在y轴负半轴上，点B、C分别在x轴正、负半轴上，48,,sin5AOABACC。点D在线段AB上，连结CD交y轴于点E，且COEADESS。试求图像经过B、C、E三点的二次函数的解析式。12（甲）.如图，⊙O的直径为AB，1O过点O，且与⊙O内切于点B．C为⊙O上的点，OC与1O交于点D，且ODCD．点E在OD上，且DCDE，BE的延长线与1O交于点F，求证：△BOC∽△1DOF．12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心.求证：（1）OI是△IBD的外接圆的切线；（2）AB+AD=2BD.13（甲）.已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数.当a2012时，求a的最小值.13（乙）．给定一个正整数n，凸n边形中最多有多少个内角等于150？并说明理由．14（甲）.求所有正整数n，使得存在正整数122012xxx，，　，，满足122012xxx，且122012122012nxxx.14（乙）．将2，3，…，n（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数abc，，（可以相同），使得bac，求n的最小值．参考解答一、选择题1(甲).C解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知0bac，且bc，所以22||()||()()()aabcabcaabcabca．1（乙）．B解：1111111122122312a11121221．2（甲）．D解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.2（乙）．B解：由题设x2＋y2≤2x＋2y，得0≤22(1)(1)xy≤2.因为xy，均为整数，所以有22(1)0(1)0xy，；22(1)0(1)1xy，；22(1)1(1)0xy，；22(1)1(1)1.xy，解得11xy，；12xy，；10xy，；01xy，；00xy，；02xy，；21xy，；20xy，；22.xy，以上共计9对xy（，）.3（甲）．D解：由题设知，1112aabab，所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244aababab，中位数为(1)(1)44224aabab，于是4423421444abab.3（乙）．B解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE.由于AC=BC，CD=CE，∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE，所以△BCD≌△ACE，BD=AE.又因为30ADC，所以90ADE.在Rt△ADE中，53AEAD，，于是DE=224AEAD，所以CD=DE=4.4（甲）．D解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，xy，均为非负整数.由题设可得2(2)2()xnyynxn，，消去x得(2y－7)n=y+4，2n=721517215)72(yyy.因为1527y为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．4（乙）．C解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为0q，故方程的根为一正一负．由二次函数2yxpxq的图象知，当3x时，0y，所以2330pq，即39pq.由于pq，都是正整数，所以1p，1≤q≤5；或2p，1≤q≤2，此时都有240pq.于是共有7组pq（，）符合题意．5（甲）．D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以01239891036363636pppp，，，，因此3p最大．5（乙）．C解：因为1(1)(1)ababab，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为x，则1111(11)(1)(1)(1)23100x，解得1101x，100x．二、填空题6（甲）．7＜x≤19解：前四次操作的结果分别为3x－2，3(3x－2)－2=9x－8，3(9x－8)－2=27x－26，3(27x－26)－2=81x－80.由已知得27x－26≤487，81x－80＞487.解得7＜x≤19.容易验证，当7＜x≤19时，32x≤48798x≤487，故x的取值范围是7＜x≤19．6（乙）.7解：在910111accbba两边乘以9cba得103acbcbabac即7acbcbabac7（甲）．8解：连接DF，记正方形ABCD的边长为2a.由题设易知△BFN∽△DAN，所以21ADANDNBFNFBN，由此得2ANNF，所以23ANAF.在Rt△ABF中，因为2ABaBFa，，所以225AFABBFa，于是25cos5ABBAFAF.由题设可知△ADE≌△BAF，所以AEDAFB，0018018090AMEBAFAEDBAFAFB.于是25cos5AMAEBAFa，245315MNANAMAFAMa，415MNDAFDSMNSAF.又21(2)(2)22AFDSaaa，所以2481515MNDAFDSSa.因为15a，所以8MNDS.7（乙）.285解：如图，设DE的中点为M，连接OM，则OMDE．因为22201216OB，所以161248205OBOCOMBC，22366455CMOCOMBM，．CEBDEMCMDMBM（）（）643655BMCM285．8（甲）．32解：根据题意，关于x的方程有=k2－4239(3)42kk≥0，由此得(k－3)2≤0．又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3.此时方程为x2+3x+49=0，解得x1=x2=32.故2012220111xx=21x=23．8（乙）.1610解：953332422222nnnnnnnn因此45|(9)n，所以)5(mod14n，因此25k,15或kn240252012所以共有2012-402=1610个数9（甲）．8解：设平局数为a，胜（负）局数为b，由题设知23130ab，由此得0≤b≤43.又(1)(2)2mmab，所以22(1)(2)abmm.于是0≤130(1)(2)bmm≤43，87≤(1)(2)mm≤130，由此得8m，或9m.当8m时，405ba，；当9m时，2035ba，，5522aba，不合题设.故8m．9（乙）.1253ca解：依题意得：(1)111(2)abcbca，所以acb，代入（2）得caccba11111，两边乘以a得caa