2012年高中数学联赛甘肃预赛试题

-1-二Ｏ一二年全国高中数学联赛甘肃预赛试卷(2012年6月24日上午9:00-11:30)二题号一9101112总成绩得分评卷人复核人考生注意:1、本试卷共两大题(12道小题),全卷满分120分.2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.3、解题书写不要超出装订线.4、不能使用计算器.一、填空题(本题满分56分,每小题7分)本题共有8小题，请将正确答案直接写在横线上。1.空间四点A，B，C，D两两间的距离均为1，点P与点Q分别在线段AB与CD上运动，则点P与点Q间的最小距离为____________；2.向量(1,0)OA,(1,1)OB,O为坐标原点，动点(,)Pxy满足0102OPOAOPOB,则点(,)Qxyy构成的图形的面积为___________；2012全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷第1页(共6页)得分评卷人-2-3.设有非空集合1,2,3,4,5,6,7,A且当,aA时，必有8,aA这样的集合A的个数是_____________；4.设[],0()(1),0xxxfxfxx，其中[]x表示不超过x的最大整数，若()(0)fxkxkk有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是__________________；5.11位数的手机号码，前七位数字是1390931，若余下的4个数字只能是1、3、5且都至少出现1次,这样的手机号码有___________个；6.若122012tantantan1xxx，则122012sinsinsinxxx的最大值是_________；7.设函数:fRR，满足(0)1f且对任意,xyR都有(1)()()()2fxyfxfyfyx，则()fx=____________________________；8.实数x、y、z满足2221xyz，则xyyz的最大值为___.2012全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷第2页(共6页)-3-二、解答题(本题满分64分,第9、10题每题14分，第11、12题每题18分)9.已知数列na满足111N,1nnnnaannaa且26a.(Ⅰ)求数列na的通项公式；(Ⅱ)设Nnnabnnc，c为非零常数，若数列nb是等差数列，记12,,2nnnnnbcSccc求nS.2012全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷第3页(共6页)得分评卷人-4-10.M是抛物线22(0)ypxp的准线上任意点，过M点作抛物线的切线1l、2l，切点分别为A、B（A在x轴上方）.（1）证明：直线AB过定点；（2）设AB的中点为P，求MP的最小值.2012全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷第4页(共6页)得分评卷人-5-11.设,,abc为正实数，且1abc，求证：222abcabcbcacab12．2012全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷第5页(共6页)得分评卷人-6-12.某校数学兴趣小组由m位同学组成，学校专门安排n位老师作为指导教师.在该小组的一次活动中，每两位同学之间相互为对方提出一个问题,每位同学又向每位指导教师各提出一个问题，并且每位指导教师也向全组提出一个问题，以上所有问题互不相同，这样共提出了51个问题.试求m，n的值．2012全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷第6页(共6页)得分评卷人-1-2012全国高中数学联赛甘肃省预赛预赛参考答案(满分120分)一、填空题（每小题7分，共56分）1、222、23、154、11(,]435、366、1006127、1x8、22二、解答题说明：以下评分标准仅供参考，其他正确答案请参照以下给分点平行给分9、（14分）已知数列na满足111N,1nnnnaannaa且26a.(Ⅰ)求数列na的通项公式；(Ⅱ)设Nnnabnnc，c为非零常数，若数列nb是等差数列，记12,,2nnnnnbcSccc求nS.解：()Ⅰ由已知1111N1111nnnnnnaannnananaa当2,Nnn时，11111nnaannn，进一步得：11111111nnaannnnnnnn从而有：121111111112223211naannnnnn11n又26a，当2n时，1121nann，即当3n时，21nann.26a符合上式由26a代入及2111111111aaa，亦合上式.故对任意Nn，21nann…………………….8分()Ⅱ由21nnnnabncnc知1231615,,123bbbccc，又由于数列nb是等差数列，所以2132bbb，12115213ccc，得12c，从而2nbn，进一步得：12,222nnnnnbnnc122123112222nnnnnS①0123223412222222nnnnnS②两式相减得：221111123422222nnnnnnS…………………….14分10、（14分）M是抛物线22(0)ypxp的准线上任意点，过M点作抛物线的切线1l、2l，切点分别为A、B（A在x轴上方）（1）证明：直线AB过定点（2）设AB的中点为P，求|MP|的最小值解：则由2ypx,知1l的斜率为1122pkx；由2ypx知2l的斜率为2222pkx-2-设A,B的坐标分别为11(,)xy，22(,)xy则11112:()2plyyxxx；22222:()2plyyxxx，两式相减得1212121222()22xxppyyxxxxx又12122()yypxx，从而1211122xxx即122pxx设过,AB的直线为ykxm代入22ypx得222(22)0kxkmpxm则2122mxxk，从而22242mpmpkk，则以图可知直线AB过焦点…………………….8分（2）121212214pkkllxx则12MPAB,minmin1()()2MPABp…………………….14分11、（18分）设,,abc为正实数，且1abc，求证：222abcabcbcacab12.证明：由排序不等式，有222222abcabbccaabcacbacb…………………….6分两式相加，有2222abcabcbcacab…………………….9分上式两端同乘abcbccaab，有2222abcabcabcbcacabbccaab…………………….12分21abc…………………….15分从而有222abcabcbcacab12…………………….18分12、（18分）某校数学兴趣小组由m位同学组成，学校专门安排n位老师作为指导教师.在该小组的一次活动中，每两位同学之间相互为对方提出一个问题,每位同学又向每位指导教师各提出一个问题，并且每位指导教师也向全组提出一个问题，以上所有问题互不相同，这样共提出了51个问题.试求m,n的值.解：则有m(m－1)+mn+n=51．…………………….6分化简得m2+(n－1)m+n－51=0故Δ=(n－1)2－4(n－51)=n2－6n+205=(n－3)2+196∵m∈*N,∴Δ必为完全平方数…………………….9分设(n－3)2+196=k2(k为自然数)，则(n－3+k)(n－3－k)=－196…………………….12分其中n－3+k与n－3－k具有相同的奇偶性，且n－3+k≥n－3－k-3-∴n-3+k=2(1)n-3-k=-98或n-3+k=98(2)n-3-k=-2或n-3+k=14(3)n-3-k=-14……………………15分由（1）得n=－45,（舍）由(2)得n=51,此时原方程为m2+50m=0解得m1=－50,m2=0（舍）由（3）得n=3,此时原方程为m2+2m－48=0,解得m1=6,m2=－8（舍）∴m=6,n=3…………………….18分