2012年各省高中数学竞赛预赛试题汇编

2012各省数学竞赛汇集目录1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷------第3页2.2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高一年级）---第7页3.2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高二年级）---第10页4.2012年高中数学联赛陕西省预赛试卷------第16页5.2012年高中数学联赛上海市预赛试卷------第21页6.2012年高中数学联赛四川省预赛试卷------第28页7.2012年高中数学联赛福建省预赛试卷（高一年级）---第35页8.2012年高中数学联赛山东省预赛试卷---第45页9.2012年高中数学联赛甘肃省预赛试卷---第50页10.2012年高中数学联赛河北省预赛试卷---第55页11.2012年高中数学联赛浙江省预赛试卷---第62页12.2012年高中数学联赛辽宁省预赛试卷---第72页13.2012年高中数学联赛新疆区预赛试卷（高二年级）---第77页14.2012年高中数学联赛河南省预赛试卷（高二年级）---第81页15.2012年高中数学联赛北京市预赛试卷（高一年级）---第83页2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分）1、当[3,3]x时，函数3()|3|fxxx的最大值为__18___.2、在ABC中，已知12,4,ACBCACBA则AC___4____.3、从集合3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____310_______.4、已知a是实数，方程2(4)40xixai的一个实根是b（i是虚部单位），则||abi的值为_____22___.5、在平面直角坐标系xOy中，双曲线:C221124xy的右焦点为F，一条过原点O且倾斜角为锐角的直线l与双曲线C交于,AB两点.若FAB的面积为83，则直线的斜率为___12____.6、已知a是正实数，lgaka的取值范围是___[1,)_____.7、在四面体ABCD中，5ABACADDB,3BC,4CD该四面体的体积为_____53_______.8、已知等差数列na和等比数列nb满足：11223,7,abab334415,35,abab则nnab___132nn___.（*nN）9、将27,37,47,48,557175，，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种.10、三角形的周长为31，三边,,abc均为整数，且abc，则满足条件的三元数组(,,)abc的个数为__24___.二、解答题（本题80分，每题20分）11、在ABC中，角,,ABC对应的边分别为,,abc，证明：（1）coscosbCcBa（2）22sincoscos2CABabc12、已知,ab为实数，2a，函数()|ln|(0)afxxbxx.若(1)1,(2)ln212efef.（1）求实数,ab；（2）求函数()fx的单调区间；（3）若实数,cd满足,1cdcd，求证：()()fcfd13、如图，半径为1的圆O上有一定点M为圆O上的动点.在射线OM上有一动点B,1,1ABOB.线段AB交圆O于另一点C，D为线段的OB中点.求线段CD长的取值范围.14、设是,,,abcd正整数，,ab是方程2()0xdcxcd的两个根.证明：存在边长是整数且面积为ab的直角三角形.2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）1．已知集合babxxBaxxA,},|{},|{N，且BAN}1{，则ba1．2．已知正项等比数列}{na的公比1q，且542,,aaa成等差数列，则963741aaaaaa352．3．函数741)(2xxxxf的值域为6[0,]6．4．已知1sin2sin322，1)cos(sin2)cos(sin322，则)(2cos13．5．已知数列}{na满足：1a为正整数，,,13,,21为奇数为偶数nnnnnaaaaa如果29321aaa，则1a5．6．在△ABC中，角CBA,,的对边长cba,,满足bca2，且AC2，则Asin74．7．在△ABC中，2BCAB，3AC．设O是△ABC的内心，若ACqABpAO，则qp的值为32．8．设321,,xxx是方程013xx的三个根，则535251xxx的值为－5．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列}{na满足21211143nnnnnnnnnaaaaaaaaa且11a，28a，求}{na的通项公式．解在已知等式两边同时除以1nnaa，得3141112nnnnaaaa，所以211114(11)nnnnaaaa．------------------------------------------4分令111nnnaab,则nnbbb4,411，即数列}{nb是以1b＝4为首项,4为公比的等比数列，所以nnnbb4411.------------------------------------------8分所以nnnaa4111,即nnnaa]1)14[(21.------------------------------------------12分于是，当1n时,22221121]1)14[(]1)14[(]1)14[(nnnnnnaaa112111121]1)14[(]1)14[(nkknkka，因此,.2,]1)14[(,1,11121nnankkn------------------------------------------16分10．已知正实数ba,满足122ba，且333)1(1bamba，求m的最小值．解令cos,sinab，02，则322333)1sin(cos1)sinsincos)(cossin(cos)1sin(cos1sincosm．----------------------------------------5分令sincosx，则]2,1()4sin(2x，且21sincos2x．------------------------------10分于是21)1(23)1(22)1(22)1(232)1(1)211(223332xxxxxxxxxxxxm．------------------------------15分因为函数21)1(23)(xxf在]2,1(上单调递减，所以)1()2(fmf．因此，m的最小值为2423)2(f．------------------------------------------20分11．设)3(log)2(log)(axaxxfaa，其中0a且1a．若在区间]4,3[aa上1)(xf恒成立，求a的取值范围．解22225()log(56)log[()]24aaaafxxaxax．由,03,02axax得ax3，由题意知aa33，故23a，从而53(3)(2)022aaa，故函数225()()24aagxx在区间]4,3[aa上单调递增.------------------------------------------5分（1）若10a，则)(xf在区间]4,3[aa上单调递减，所以)(xf在区间]4,3[aa上的最大值为)992(log)3(2aaafa．在区间]4,3[aa上不等式1)(xf恒成立，等价于不等式1)992(log2aaa成立，从而aaa9922，解得275a或275a．结合10a得10a．------------------------------------------10分（2）若231a，则)(xf在区间]4,3[aa上单调递增，所以)(xf在区间]4,3[aa上的最大值为)16122(log)4(2aaafa.在区间]4,3[aa上不等式1)(xf恒成立，等价于不等式1)16122(log2aaa成立，从而aaa161222，即0161322aa，解得4411344113a．易知2344113，所以不符合．------------------------------------------15分综上可知：a的取值范围为(0,1)．------------------------------------------20分2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）1．函数741)(2xxxxf的值域为________________．2．已知1sin2sin322，1)cos(sin2)cos(sin322，则)(2cos_______________．3．已知数列}{na满足：1a为正整数，,,13,,21为奇数为偶数nnnnnaaaaa如果29321aaa，则1a．4．设集合}12,,3,2,1{S，},,{321aaaA是S的子集，且满足321aaa，523aa，那么满足条件的子集A的个数为．5．过原点O的直线l与椭圆C：)0(12222babyax交于NM,两点，P是椭圆C上异于NM,的任一点．若直线PNPM,的斜率之积为31，则椭圆C的离心率为_______________．6．在△ABC中，2BCAB，3AC．设O是△ABC的内心，若ACqABpAO，则qp的值为_______________．7．在长方体1111DCBAABCD中，已知pABCBAC11,2,1，则长方体的体积最大时，p为_______________．8．设][x表示不超过x的最大整数，则20121020122[]2kkk．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列}{na满足21211143nnnnnnnnnaaaaaaaaa且11a，28a，求}{na的通项公式．10．已知正实数ba,满足122ba，且333)1(1bamba，求m的取值范围．11．已知点),(nmE为抛物线)0(22ppxy内一定点，过E作斜率分别为21,kk的两条直线交抛物线于DCBA,,,，且NM,分别是线段CDAB,的中点．（1）当0n且121kk时，求△EMN的面积的最小值；（2）若21kk（,0为常数），证明：直线MN过定点．2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一