2012年广东省东莞市高中数学竞赛决赛试题与答案

2012年东莞市高中数学竞赛决赛试题一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．从集合｛1，3，6，8｝中任取两个数相乘，积是偶数的概率是A．56B．23C．12D．132．若是第四象限角，且2cos2sin212cos2sin，则2是A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3.已知点OAB、、不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且22+OPOABA，则A．点P不在直线AB上B．点P在线段AB上C．点P在线段AB的延长线上D．点P在线段AB的反向延长线上4．设Rnm,，若直线04)1()1(ynxm与圆4)2()2(22yx相切，则mn的取值范围是A.]31,0(B.),31[C.),222[D.]222,0(5.已知正方体C1的棱长为182，以C1的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C2，以C2的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C3，则凸多面体C3的棱长为A．18B．29C．9D．266.已知定义在R上的奇函数)(xf，满足(3)()fxfx,且在区间]23,0[上是增函数,若方程mxf)()0(m在区间6,6上有四个不同的根1234,,,xxxx,则1234xxxxA．6B．6C．8D．8二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．）7．已知1ln,0()1,0xxfxxx，则不等式()1fx的解集为▲.8．随机抽查某中学高二年级100名学生的视力情况，发现学生的视力全部介于4.3至5.2.现将这些数据分成9组，得其频率分布直方图如下.又知前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，则视力在4.6到5.0之间的学生有▲人.9．在ABC中，角,,ABC所对应的边长分别为,,abc，若2222abc，则cosC的最小值为▲.10．给出下列四个命题：（1）如果平面与平面相交，那么平面内所有的直线都与平面相交；（2）如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面；（3）如果平面⊥平面，那么平面内与它们的交线不垂直的直线与平面也不垂直；（4）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面．其中真命题．．．的序号是▲．（写出所有真命题的序号）11．若动点00(,)Mxy在直线20xy上运动，且满足2200(2)(2)xy≤8，则2200xy的取值范围是▲．12．设函数1121xxxfx，0A为坐标原点，nA为函数xfy图象上横坐标为n（n∈N*）的点，向量nkkknAAa11，向量)0,1(i，设n为向量na与向量i的夹角，满足15tan3nkk的最大整数n是▲。．答题卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）题1234564.34.44.54.64.74.84.95.05.1.75.20.10.3视力频率/组距号答案二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7．8．9．10．11．12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）13.（本小题满分12分）已知函数2()2sincos23sin3222xxxfx．（1）求函数()fx的单调减区间；（2）该函数的图象可由)(sinRxxy的图象经过怎样的变换得到?（3）已知2π,63，且6()5f，求()6f的值．14.（本小题满分12分）菱形ABCD中，)2,1(A，)0,6(AB，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.（1）若向量)7,3(AD，求点C的坐标；（2）当点D运动时，求点P的轨迹.15．（本题满分13分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE＝BE，平面ABCD⊥平面ABE，点F在CE上，且BF⊥平面ACE.（1）判断平面ADE与平面BCE是否垂直，并说明理由；（2）求点D到平面ACE的距离.ABCDEF16．（本题满分13分）如图，某化工集团在一条河流的上、下游分别建有甲、乙两家化工厂，其中甲厂每天向河道内排放污水2万m3，每天流过甲厂的河水流量是500万m3（含甲厂排放的污水）；乙厂每天向河道内排放污水1.4万m3，每天流过乙厂的河水流量是700万m3（含乙厂排放的污水）.由于两厂之间有一条支流的作用，使得甲厂排放的污水在流到乙厂时，有20%可自然净化.假设工厂排放的污水能迅速与河水混合，且甲厂上游及支流均无污水排放.根据环保部门的要求，整个河流中污水含量不能超过0.2%，为此，甲、乙两个工厂都必须各自处理一部分污水.（1）设甲、乙两个化工厂每天各自处理的污水分别为x、y万m3，试根据环保部门的要求写出x、y所满足的所有条件；（2）已知甲厂处理污水的成本是1200元/万m3，乙厂处理污水的成本是1000元/万m3，在满足环保部门要求的条件下，甲、乙两个化工厂每天应分别各自处理污水多少万m3，才能使这两个工厂处理污水的总费用最小？最小总费用是多少元？乙厂支流500万m3/天甲厂17．（本题满分14分）已知),,(42)(2Rcbacbxaxxf.（1）当0a时，若函数)(xf的图象与直线xy均无公共点，求证：;4142bac（2）43,4cb时，对于给定的负数8a，记使不等式5|)(|xf成立的x的最大值为)(aM.问a为何值时，)(aM最大，并求出这个最大的)(aM，证明你的结论.18．（本题满分14分）已知数列nx和ny的通项公式分别为nnxa和1,nyanbnN.（1）当3,5ab时，记2nncx，若kc是ny中的第m项(,)kmN，试问：1kc是数列ny中的第几项？请说明理由．（2）对给定自然数2a，试问是否存在1,2b，使得数列nx和ny有公共项？若存在，求出b的值及相应的公共项组成的数列nz，若不存在，请说明理由．2012年东莞市高中数学竞赛决赛参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）题号123456答案ABDCDB二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7．),0()1,(e8．789．1210．（3）（4）11．[2，8]12．3三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）13.（本小题满分12分）解：（1）2()sin3(12sin)2xfxxsin3cosxxπ2sin3x．…………………2分令kxk223322，Zk．得kxk26726，Zk．()fx的单调减区间为]267,26[kk，Zk．…………………5分（2）先把函数)(sinRxxy的图象向左平移3个单位，就得到函数))(3sin(Rxxy的图象；再把其纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，就得到π2sin3yx)(Rx的图象．…………7分（3）由56)(f得：π62sin(),35即π3sin(),35…………………8分因为2π,63,所以π()(,)32.从而22ππ34cos()1sin()1()3355…………………10分于是()2sin[()]2[sin()coscos()sin]6363636f5433]21542353[2.…………………12分14.（本小题满分12分）解：（1）菱形ABCD中，)7,9()0,6()7,3(ABADAC，且)2,1(A，所以)9,10(C.…4分（2）设),(yxP，则)2,7()0,6()2,1(yxyxABAPBP.…………………5分又因为点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P，即点P是ABC的重心，从而有MPMC3,所以11133()3222ACAMMCABMPABAPABAPAB3(1,2)(6,0)(39,36)xyxy…………………7分菱形ABCD的对角线互相垂直，所以ACBP，即0)63,93()2,7(yxyx，亦即0)63)(2()93()7(yyxx，整理得：4)2()5(22yx（2y），…………………11分故P点的轨迹是以)2,5(为圆心，2为半径的圆，除去与2y的交点.…………………12分15．（本题满分13分）解：（1）平面ADE与平面BCE垂直.…………………1分证明如下：因为BF⊥平面ACE，所以BF⊥AE.…………………3分因为平面ABCD⊥平面ABE，且ABCD是正方形，BC⊥AB，平面ABCD∩平面ABE＝AB，所以BC⊥平面ABE，从而BC⊥AE.…………………6分于是AE⊥平面BCE，故平面ADE⊥平面BCE.………………7分（2）连结BD交AC与点M，则点M是BD的中点，所以点D与点B到平面ACE的距离相等.…………………8分因为BF⊥平面ACE，所以BF为点B到平面ACE的距离.…9分因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE.又AE＝BE，所以△AEB是等腰直角三角形.…………………10分因为AB＝2，所以BE＝2sin452.…………………11分在Rt△CBE中，226CEBCBE222336BCBEBFCE故点D到平面ACE的距离是332.…………………13分16．（本题满分13分）解：（1）据题意，x、y所满足的所有条件是20.25001000.8(2)1.40.27001000201.4xxyxy，…………………4分ABCDEFABCDEFMG即4.1021854yxyx.…………………5分（2）设甲、乙两厂处理污水的总费用为z元，则目标函数z＝1200x＋1000y＝200(6x＋5y).…………7分作可行域，如图.……………10分平移直线l：6x＋5y=0，当直线经过点A(1，0.8)时，z取最大值，此时z＝1200×1＋1000×0.8＝2000（元）.……………12分故甲、乙两厂每天应分别处理1万m3、0.8万m3污水，才能使两厂处理污水的总费用最小，且最小总费用是2000元.…………………13分17．（本题满分14分）解：(1)由),,(42)(2Rcbacbxaxxf与直线xy均无公共点（0a），可知xcbxax422无解，………………1分由04)12(2cxbax无解，得：016)12(2acb，整理得：bbac4142(1)………………3分由04)12(2cxbax无解，得：016)12(2acb，整理得：bbac4142(2)………………5分由(1),(2)得:4142bac.………………6分(2)由43,4cb，所以38)(2xaxxf………………7分Axyo121.44x＋5y=8l因为aaf163)4(,由8a得，5163)4(aaf………………9分所以()5fx恒成立，故不等式5|)(|xf成立的x的最大值也就是不等式()5fx成立的x的最大值，…………10分因此)(aM为方程5382xax的较大根，即aaaM2424)(（8a）………………11分当8a时，42424()422aMaaa是关于a的增函数，………………13分所以，当8a时，)(aM取得最大值，其最大值为251)(aM.………………14分1