2012年广州市高二数学竞赛试题

2012年广州市高二数学竞赛试题2012．5．13考生注意：1．用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上；2．不准使用计算器；3．考试用时120分钟，全卷满分150分.一、选择题：本大题共4小题，每题6分，满分24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合2220,1,12MxxxNyyxx,则有()A.MNB.NMC.MND.MN2．已知等差数列na的前n项和为nS,且6135,143aS,则公差d的值为()A.10B.8C.6D.43.方程2111xy所表示的曲线是A.一个圆B.两个圆C.半个圆D.两个半圆4.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，设向量m,ab，n,bca，则m//n是2AB的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件二、填空题:本大题共6小题，每题6分，满分36分.5．已知3sin45，则sin2的值为*.6．已知向量a=2,3，b=1,2，若向量manb与向量a2b共线（,mnR，且0n)，则mn的值为*.7.在区间1,3和1,2上分别取一个数,记为,ab,则方程22221xyab表示焦点在x轴上并且离心率小于12的椭圆的概率为*.8.三棱锥ABCD的所有棱长均为1,顶点A在底面BCD上的正投影为点H,点M在AH上,且使90BMC,则AM的长为*.9．已知函数lg1fxx，若1ab，且fafb，则ab的取值范围是*.10.对于任意两个正数,xy,定义运算“”如下：xyaxbycxy，其中,,abc为常数.DMNCBAS已知123,234，并且存在一个非零实数d，使得对于任意实数x都有2xdx，则d的值为*.三、解答题:本大题共5小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.11.(本小题满分15分)已知函数coscossin0fxxxaxa的最大值为32.(1)求a的值;(2)若524f,求3f的值.12.(本小题满分15分)如图,在三棱锥SABC中,SA平面ABC,90ABC,2,4SABCAB,M,,ND分别是,,SCABBC的中点.(1)求证:MNAB;(2)求二面角SNDB的余弦值;(3)求点M到平面SND的距离.13.(本小题满分20分)已知平面内的动点P到点1,02F的距离比它到直线32x的距离小1，记动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)若直线10xy与曲线C相交于A、B两点,问在曲线C上是否存在点Q,使△QAB为等边三角形?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.14.(本小题满分20分)已知数列na的前n项和为nS,对任意nN*都有11nnaSaa（a为常数，0,1aa）.(1)求数列na的通项公式;（2）令1nnnSba，若数列nb为等比数列，求a的值；(3)在满足(2)的条件下,记11111nnncaa,设数列nc的前n项和为nT,求证:124nTn.15.(本小题满分20分)已知函数21ln,(,2fxxgxaxbxabR).（1）当2b时，求函数hxfxgx的单调区间；（2）设函数fx的图象1C与函数gx的图象2C交于不同两点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交1C、2C于点M、N，试判断1C在点M处的切线与2C在点N处的切线是否平行，并说明理由.2012年广州市高二数学竞赛试题参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：每小题6分，满分24分。1．A2．C3．D4．C二、填空题：每小题6分，满分36分。5．7256．127．23348．669．4,10．3三、解答题：满分90分。11.(1)解:coscossinfxxxax2cossincosxaxx11cos2sin222axx11sin2cos222axx211sin222ax(其中1tana).∵函数fx的最大值为32∴2113222a,解得3a.(2)解:由(1)知1sin262fxx.∵524f,∴15sin624,得3sin64.∴3f1sin23621sin2232HEFDMNCBAS1cos2322112sin62231124238.12.(1)证明:取AC的中点E,连接,MENE.则//MESA,又SA平面ABC,∴ME平面ABC.∵AB平面ABC,∴MEAB.∵,NE分别为,ABAC的中点,∴//NEBC.∵90ABC,即ABBC,∴NEAB.∵,MENEEME平面,MNENE平面,MNE∴AB平面MNE.∵MN平面MNE,∴MNAB.解:过A作AFDN且与DN的延长线相交于点F,连接SF.由三垂线定理知,SFA是二面角SNDA的平面角,也是二面角SNDB的平面角的补角,在Rt△DBN中，225NDDBNB，5sin5DBDNBND.在Rt△AFN中，AFAN525sin255ANF.在Rt△SAF中，22SFSAAF2305，6cos6AFAFSSF.∴二面角SNDB的余弦值为66.(2)解:过点A作AHSF于H,由(2)知平面SAF平面SND,且平面SAF平面SNDSF,∴AH平面SND.∴AH的长为点A到平面SND的距离.在Rt△AFN中，SAAFAHSF63.∵点M是SC的中点,∴点M到平面SND的距离是点C到平面SND的距离的12倍.∵//ACND,∴//AC平面SND.∴点C到平面SND的距离等于点A到平面SND的距离.∴点M到平面SND的距离是66.13.(1)解法1:∵点P到点1,02F的距离比到直线32x的距离小1，∴点P到点1,02F的距离与它到直线12x的距离相等。∴点P的轨迹是以点1,02F为焦点，直线12x为准线的抛物线.∴曲线C的方程为22yx.解法2:设点P的坐标为,xy,依题意得,2213122xyx.当32x时,得221122xyx,化简得22yx.当32x时,得221522xyx得52x化简得2660yx,得1x,矛盾.∴曲线C的方程为22yx.(2)解:设A、B的坐标分别为1122,,,xyxy,线段AB的中点为00,Dxy.由210,2.xyyx消去x,得2220yy.∴12122,2yyyy.∴12012yyy,0012xy.∴点2,1D.21212114AByyyy26.假设曲线C上存在点Q,使△QAB为等边三角形,设点33,Qxy,由DQAB,得331112yx,即3330xy.又33133222xyDQAB,得3316xy.由333330,16xyxy或333330,16.xyxy解得335,2,xy或331,4,xy∴点Q的坐标为5,2或1,4.∵点5,2或1,4不在曲线C上,∴曲线C上不存在点Q,使△QAB为等边三角形.14.(1)解:当1n时,11111aaSaa,解得1aa,当2n时,111111nnnnnaaaSSaaaa,整理得1nnaaa.∴数列na是首项为a,公比为a的等比数列.∴1nnnaaaa.(2)解:由(1)得11nnaSaa,则1nnnSba2111naaaaa.∴32123221212,,1aaabbbaaa.由2213bbb,得2322212121aaaaaa,解得12a.又12a时,2nnb,显然数列nb为等比数列，故12a.(3)证明:由(2)知12a,故12nna.∴11111nnncaa11222121nnnn111112121nn11122121nn12222121nnn.当2n时,1222121nnn11221122124221nnnnn.∴12222121iniii1212nii131112211412n.∴11221244nTnn.15.（1）解：∵2b，hxfxgx21ln22xaxx，∴函数hx的定义域为0,.∴2'1212axxhxaxxx.①当0a时，'12xhxx，令'0,hx得102x；令'0,hx得12x.∴函数hx的单调递增区间为10,2，单调递减区间为1,2.②当0a时，令'0,hx得2210axxx，∵0,x∴2210axx.∴44a.（ⅰ）当0，即1a时，得2210axx，故'0,hx∴函数hx的单调递增区间为0,.（ⅱ）当0，即1a时，方程2210axx的两个实根分别为1244112aaxaa，211axa.若10a，则120,0xx，此时，当10,xx时，'0,hx当1,xx时，'0hx.∴函数hx的单调递增区间为11,aa，单调递减区间为110,aa.若0a，则120,0xx，此时，当20,xx时，'0,hx当2,xx时，'0,hx.∴函数hx的单调递增区间为110,aa，单调递减区间为11,aa.综上所述，当0a时，函数hx的单调递增区间为110,aa，单调递减区间为11,aa；当10a时，函数hx的单调递增区间为11,aa，单调递减区间为110,aa；当1a时，函数hx的单调递增区间为0,，无单调递减区间.（2）证法1：设点P、Q的坐标分别是112212,,,,0xyxyxx.则点M、N的横坐标为122xxx.1C在