2012年河北省高中数学竞赛试题

2012年河北省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准说明：本试卷分为A卷和B卷：A卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1.已知53[,]42，则1sin21sin2可化简为（D）A．2sinB.2sinC.2cosD.2cos解答：因为53[,]42，所以1sin21sin2=cossincossin2cos。正确答案为D。2．如果复数21aii的模为4，则实数a的值为（C）A.2B.22C.2D.22解答：由题意得22442aa。正确答案为C。3.设A，B为两个互不相同的集合，命题P：xAB，命题q：xA或xB，则p是q的（B）A.充分且必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分且非必要条件解答：P是q的充分非必要条件。正确答案为B。4.过椭圆2212xy的右焦点2F作倾斜角为45弦AB，则AB为（C）A.263B.463C.423D.433解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB为1,yx代入椭圆方程得2212124423400,2()33xxxxABxx。正确答案为C。5.函数150()510xxxfxx，则该函数为（A）A.单调增加函数、奇函数B.单调递减函数、偶函数C.单调增加函数、偶函数D.单调递减函数、奇函数解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。6.设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（A）正视图侧视图俯视图（圆和正方形）A.4+52B.4+32C.4+2D.4+解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（2），所以该几何体的体积为52213422。正确答案为A。7．某程序框图如右图所示，现将输出（,)xy值依次记为：1122(,),(,),,(,),;nnxyxyxy若程序运行中输出的一个数组是(,10),x则数组中的x（B）A．64B．32C．16D．8答案经计算32x。正确答案为B。8.在平面区域(,)||1,||1xyxy上恒有22axby，则动点(,)Pab所形成平面区域的面积为（A）A.4B.8C.16D.32解答：平面区域(,)||1,||1xyxy的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）满足22axby，即有22,22,22,22abababab由此计算动点(,)Pab所形成平面区域的面积为4。正确答案为A。9.已知函数()sin(2)6fxxm在0,2上有两个零点，则m的取值范围为（C）222212231A.1,12B1,12C.1,12D.1,12解答：问题等价于函数()sin(2)6fxx与直线ym在0,2上有两个交点，所以m的取值范围为1,12。正确答案为C。10.已知[1,1]a，则2(4)420xaxa的解为（C）A.3x或2xB.2x或1xC.3x或1xD.13x解答：不等式的左端看成a的一次函数，2()(2)(44)faxaxx由22(1)560,(1)3201fxxfxxx或3x。正确答案为C。二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11.函数()2sin3cos2xfxx的最小正周期为______4____。解答：最小正周期为4。12.已知等差数列na前15项的和15S=30，则1815aaa=____6_______.解答：由1513072Sad，而181513(7)6aaaad。13.向量(1,sin)a，(cos,3)b，R，则ab的取值范围为[1，3]。解答：22(1cos)(sin3)52(cos3sin)ab=54sin()6，其最大值为3，最小值为1，取值范围为[1，3]。14.直三棱柱111ABCABC，底面ABC是正三角形，P，E分别为1BB，1CC上的动点（含端点），D为BC边上的中点，且PDPE。则直线,APPE的夹角为_90_。解答：因为平面ABC⊥平面11BCCB，AD⊥BC，所以AD⊥平面11BCCB，所以AD⊥PE，又PE⊥PD，PE⊥平面APD，所以PE⊥PD。即夹角为90。15．设yx,为实数，则)(max22104522yxxyx_____4________。解答：222254104105002xyxyxxx22222224()1025(5)2534xyxxxxy16.马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有___3001710C_______种。（用组合数符号表示）解答：问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯，所以共有3001710C种关灯方法。17.设zyx,,为整数，且3,3333zyxzyx，则222zyx_3或57_。解答：将3zxy代入3333zyx得到83()9xyxyxy，因为,xy都是整数，所以1428,,,,25116xyxyxyxyxyxyxyxy前两个方程组无解；后两个方程组解得1;4,5xyzxyz。所以222zyx3或57。三、解答题（本大题共3小题，每小题17分，共计51分）18.设2a，求xxy)2(在]2,[a上的最大值和最小值。解答：当20,(1)1,xyx当20,(1)1,xyx----------------------------------5分由此可知max0y。----------------------------------10分当2min12,2ayaa；当min121,1ay；当2min12,2ayaa。----------------------------------17分19.给定两个数列nx，ny满足100yx，)1(211nxxxnnn，)1(21121nyyynnn。证明对于任意的自然数n，都存在自然数nj，使得njnxy。解答：由已知得到：1112111112(1){1}nnnnnxxxxx为等比数列，首项为2，公比为2，所以11111221nnnnxx。-----------------5分又由已知，22211111(1)11111()1(1)12nnnnnnnnnyyyyyyyyy由011121212221nnnynyy，所以取21nnj即可。-------------------17分20.已知椭圆2222154xy，过其左焦点1F作一条直线交椭圆于A，B两点，D(,0)a为1F右侧一点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过1F，求a的值。解答：125(3,0),3Fx左准线方程为;AB方程为(3)()ykxk为斜率。设1122(,),(,)AxyBxy，由11625)3(22yxxky2222(1625)1502254000kxkxk得222212121212222150225400256,(3)(3)162516251625kkkxxxxyykxxkkk----------------------10分设342525(,),(,)33MyNy。由M、A、D共线123412(325)(325),3()3()ayayyyaxax同理。AC又131411111616(,),(,),033FMyFNyFMFNFMFN由已知得，得212343412325)256,99()()ayyyyyyaxax（而，即222561625kk212325)9()()aaxax（=256,9整理得22(1)(16400)05,3,5kaaaa又所以。--------------17分四、附加题（本大题共2小题，每小题25分，共计50分）21.在锐角三角形ABC中，3A，设在其内部同时满足PBPA和PCPA的点P的全体形成的区域G的面积为三角形ABC面积的31。证明三角形ABC为等边三角形。解答：做ABC的外接圆O，做,OEABE于,OFACF于,OMBC于M则G为四边形AEOF。又1,2223ABCAEOAOFAOBAOCAEOFAEOFSSSSSSS四边形四边形所以13OBCABCSS。--------------------------10分1120,302BOCOBC由已知则,则OM=R(R为ABC外接圆半径)3,2ADBCDADAOOMR作于则13322ABCOBCRSBCS，等号成立当且仅当A、O、M共线，即ABC为等边三角形。--------------------------25分EFOBMD22.设Rcba,,，且3cba。求证：23222acaccbcbbaba，并指明等号成立的条件。证明：由柯西不等式22111()niniiniiiiaabb得到acaccbcbbaba2222()62()abcbacabc（1）--------------------10分（1）式右边的分子=2()2()abcabcbcbacaccb=222()2(())2()2(2)abcbbacacabcbbacac22()2()3()()abcbacabccababcabc3(3)abc。--------------------------20分等号成立条件是1abc。结论成立。--------------------------25分