2012年全国初中数学竞赛海南赛区初赛试卷

2012年全国初中数学竞赛海南赛区初赛试卷一、选择题：（本大题满分50分，每小题5分）1、下列运算正确的是（）A．x2‧x3=x6B．2x3x=5x2C．(x2)3=x6D．x6x2=x32、有大小两种游艇，2艘大游艇与3艘小游艇一次可载游客57人，3艘大游艇与2艘小游艇一次可载游客68人，则3艘大游艇与6艘小游艇一次可载游客的人数为（）A．129B．120C．108D．963、实数a＝20123－2012，下列各数中不能整除a的是（）A．2013B．2012C．2011D．20104、如图1所示的两个圆盘中，指针落在每一个数所在的区域上的机会均等，则两个指针同时落在数“1”所在的区域上的概率是（）A．251B．252C．256D．25245、一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，下面可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的图象是（）6、要使1213xx有意义，则x的取值范围为A．321　xB．321　＜xC．321x＜D．321＜x＜7、菱形的两条对角线之和为L、面积为S，则它的边长为（）A．SL4212B．SL2212C．SL4221D．2421LS8、如图2，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，ABCDEF图21234512345图1速度时间OA速度时间OBO速度时间C速度时间OD且DE∥BC，下列结论中，一定正确的个数是（）①△CEF是等腰三角形②四边形ADFE是菱形③四边形BFED是平行四边形④∠BDF+∠CEF＝2∠AA．1B．2C．3D．49、如图3，直线x＝1是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴，则有()A．a＋b＋c＝0B．b＞a＋cC．b＝2aD．abc＞010、铁板甲形状为直角梯形，两底边长分别为4cm，10cm，且有一内角为60°；铁板乙形状为等腰三角形，其顶角为45°，腰长12cm．在不改变形状的前提下，试图分别把它们从一个直径为8.5cm的圆洞中穿过，结果是（）A．甲板能穿过，乙板不能穿过B．甲板不能穿过，乙板能穿过C．甲、乙两板都能穿过D．甲、乙两板都不能穿过二、填空题：（本大题满分40分，每小题5分）11、x与y互为相反数，且3yx，那么122xyx的值为__________.12、一次函数y=ax+b的图象如图4所示，则化简1bba得________.13、若x=－1是关于x的方程a2x2+2011ax－2012=0的一个根，则a的值为__________.14、一只船从A码头顺水航行到B码头用6小时，由B码头逆水航行到A码头需8小时，则一块塑料泡沫从A码头顺水漂流到B码头要用_小时（设水流速度和船在静水中的速度不变）．15、如图5，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是．16、如图6，直线l平行于射线AM，要在直线l与射线AM上各找一点B和C，使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画_______个．17、如图7，△ABC与△CDE均是等边三角形，若∠AEB=145°，则∠DBE的度数是________.18、如图8所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，把∠B、∠D分别沿CE、AG翻折，点B、D分别落在对角线AC的点B＇和D＇上，则线段EG的长度是________.图3xy1xy－1o图4图7ABCDE图5AEDCFOB图6AMl图8B＇ED＇ABCDG三、解答题：(本大题满分30分，每小题15分)19、某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要30天完成，如果让乙工程队单独工作，则需要60天方可完成；甲工程队施工每天需付施工费2.5万元，乙工程队施工每天需付施工费1万元.请解答下列问题：（1）甲、乙两个工程队一起合作几天就可以完成此项工程？（2）甲、乙两个工程队一起合作10天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，请问共需多少天才能完成此项工程？（3）如果要使整个工程施工费不超过65万元，甲、乙两个工程队最多能合作几天？（4）如果工程必须在24天内（含24天）完成，你如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费.20、如图9，四边形ABCD是矩形，点P是直线AD与BC外的任意一点，连接PA、PB、PC、PD．请解答下列问题：（1）如图9（1），当点P在线段BC的垂直平分线MN上（对角线AC与BD的交点Q除外）时，证明△PAC≌△PDB；（2）如图9（2），当点P在矩形ABCD内部时，求证：PA2+PC2=PB2+PD2；（3）若矩形ABCD在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（5，3），如图9（3）所示，设△PBC的面积为y，△PAD的面积为x，求y与x之间的函数关系式．图9（2）PABCDy图9（3）ABCDOx图9（1）MNQABCDP参考答案一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）题号12345678910答案CDDACBABDB7、提示：可设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用对角线互相垂直进行解答.9、分析:由函数的图象可知:当x=1时有a＋b＋c＜0,当x=-1时有a-b＋c＞0,即a＋c＞b,即b＜a＋c，函数的对称轴为12abx，则b＝－2a，因为抛物线的开口向上，所以a＞0，抛物线与y轴的交点在负半轴，所以c＜0，由b＝－2a可得b＜0．所以abc＞0，因而正确答案为D10、分析：分别计算铁板的最窄处便可知，如图Ａ，直角梯形，AD=4cm，BC=10cm，∠C=60°，过点A过AE//CD，交BC于点E，过点B作BE⊥CD于点F，可求得AB=36cm＞8.5cm，BE=35cm＞8.5cm铁板甲不能穿过，如图Ｂ，等腰三角形ABC中，顶角∠A=45°，作腰上的高线BD，可求得BD=26cm＜8.5cm，所以铁板乙可以穿过；所以选择Ｂ二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11、4512、a+113、a1=2012,a2=－114、4815、41单位面积16、3个17、85°18、1017、分析：易证△CEA与△CDB全等，从而有∠DBC=∠EAC，因为，∠ABE+∠BAE=180°-145°=35°所以有∠EAC+∠EBC=120°-35°=85°，所以∠EBD=∠EBC+∠DBC=85°18、分析：AB＝4cm，BC＝3cm，可求得AC=5cm，由题意可知CB＇=BC=3cm，AB＇=2cm设BE=x，则AE=4-x，则有(4-x)2-x2=22,x=1.5cm，即BE=DG=1.5cm，过点G作GF⊥AB于点F，则可求出EF=1cm，所以EG=103122三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19、本题满分15分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分，第（4）小题3分.解：（1）设甲、乙两个工程队一起合作x天就可以完成此项工程，依题意得：1)601301(x，解得：x=20答：甲、乙两个工程队一起合作20天就可以完成此项工程.图ＡABCDEF图ＢABCDABCDE图7图8B＇ED＇ABCDGF（2）设完成这项道路改造工程共需y天，依题意得：16010301y，解得y=40。答：完成这项道路改造工程共需40天.另：也可列方程：1)10(601)601301(10y（3）因为甲工程队单独完成工程需2.5×30=75万元，乙工程队单独完成工程需1×60=60万元，要想使施工费尽可能少，甲工程队要少参与，即合作的时间要尽可能少，剩下的由乙单独完成，设甲、乙两个工程队合作a天，则由题意可知乙工程队还需单独做（60-3a）天，得：（1+2.5）a＋1×（60-3a）≤653.5a＋60-3a≤65a≤10答：甲、乙两个工程队最多能合作10天.（4）由题意知，甲、乙两个工程队单独做都不可能在规定时间内完成，必须合作，又甲工程队单独完成工程需2.5×30=75万元，乙工程队单独完成工程需1×60=60万元，75＞60，因而应安排乙工程队在工程期限内尽可能多做，即做满24天。设应安排他们合作m天，由题意可得：124601301m解得：m=18.即，安排甲、乙两工程队合作18天，剩下的部分乙工程队单独做6天.施工费为：2.5×18+1×24=69（万元）.20、本题满分15分，第（1）、（2）、（3）小题各5分.解：（1）作BC的中垂线MN，在MN上取点P，连接PA、PB、PC、PD，如图9（1）所示，∵MN是BC的中垂线，所以有PA=PD，PC=PB，又四边形ABCD是矩形，∴AC=DB∴△PAC≌△PDB（SSS）（2）证明：过点P作KG//BC，如图9（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，DC⊥BC∴AB⊥KG，DC⊥KG，∴在Rt△PAK中，PA2=AK2+PK2同理，PC2=CG2+PG2；PB2=BK2+PK2，PD2=+DG2+PG2PA2+PC2=AK2+PK2+CG2+PG2，，PB2+PD2=BK2+PK2+DG2+PG2AB⊥KG，DC⊥KG，AD⊥AB，可证得四边形ADGK是矩形，∴AK=DG，同理CG=BK，∴AK2=DG2，CG2=BK2∴PA2+PC2=PB2+PD2（3）∵点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（5，3）图9（1）MNQABCDP图9（2）KGPABCD∴BC=4，AB=2∴ABCDS矩形=4×2=8作直线HI垂直BC于点I，交AD于点H①当点P在直线AD与BC之间时421HIBCSSPBCPAD即x+y=4，因而y与x的函数关系式为y=4-x②当点P在直线AD上方时，421HIBCSSPADPBC即y-x=4，因而y与x的函数关系式为y=4+x③当点P在直线BC下方时，421HIBCSSPBCPAD即x-y=4，因而y与x的函数关系式为y=x-4HIABCDOxyP图9（3）