2012年全国初中数学竞赛试题(副题)

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2012年全国初中数学竞赛试题(副题)题号一二三总分1~56~1011121314得分评卷人复查人答题时注意:1.用圆珠笔或钢笔作答;2.解答书写时不要超过装订线;3.草稿纸不上交.一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分.以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)1.小王在做数学题时,发现下面有趣的结果:由上,我们可知第100行的最后一个数是().(A)10000(B)10020(C)10120(D)102002.如图,在3×4表格中,左上角的1×1小方格被染成黑色,则在这个表格中包含黑色小方格的矩形个数是().(A)11(B)12(C)13(D)14(第2题)3.如果关于的方程有两个有理根,那么所有满足条件的正整数的个数是().(A)1(B)2(C)3(D)44.若函数y=(k2-1)x2-(k+1)x+1(k为参数)的图象与x轴没有公共点,则k的取值范围是().(A)k>,或k<-1(B)-1<k<,且k≠1(C)k>,或k≤-1(D)k≥,或k≤-15.△ABC中,,分别为上的点,平分,BM=CM,为上一点,且,则与的大小关系为().(A)(B)(C)(D)无法确定二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)6.如图,正方形ABCD的面积为90.点P在AB上,;X,Y,Z三点在BD上,且,则△PZX的面积为.(第6题)7.甲、乙、丙三辆车都匀速从A地驶往B地.乙车比丙车晚5分钟出发,出发后40分钟追上丙车;甲车比乙车晚20分钟出发,出发后100分钟追上丙车,则甲车出发后分钟追上乙车.8.设an=(n为正整数),则a1+a2+…+a2012的值1.(填“>”,“=”或“<”)9.红、黑、白三种颜色的球各10个.把它们全部放入甲、乙两个袋子中,要求每个袋子里三种颜色的球都有,且甲、乙两个袋子中三种颜色的球数之积相等,那么共有种放法.10.△ABC中,已知,且b=4,则a+c=三、解答题(共4题,每题20分,共80分)11.已知c≤b≤a,且,求的最小值.12.求关于a,b,c,d的方程组的所有正整数解.13.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AC,BD相交于点O.P,Q分别是AD,BC上的点,且,.求证:OP=OQ.(第13题)14.(1)已知三个数中必有两个数的积等于第三个数的平方,求的值.(2)设为非零实数,为正整数,是否存在一列数满足首尾两项的积等于中间项的平方?(3)设为非零实数,若将一列数中的某一项删去后得到又一列数(按原来的顺序),满足首尾两项的积等于中间项的平方.试求的所有可能的值.2012年全国初中数学竞赛试题(副题)参考答案一、选择题1.D解:第k行的最后一个数是,故第100行的最后一个数是.2.B解:这个表格中的矩形可由对角线的两个端点确定,由于包含黑色小方格,于是,对角线的一个端点确定,另一个端点有3×4=12种选择.3.B解:由于方程的两根均为有理数,所以根的判别式≥0,且为完全平方数.≥0,又2≥,所以,当时,解得;当时,解得.4.C解:当函数为二次函数时,有k2-1≠0,=(k+1)2-4(k2-1)<0.解得k>,或k<-1.当函数为一次函数时,k=1,此时y=-2x+1与x轴有公共点,不符合题意.当函数为常数函数时,k=-1,此时y=1与x轴没有公共点.所以,k的取值范围是k>,或k≤-1.5.B(第5题)解:如图,设,作BKCE,则,于是A,B,E,C四点共圆.因为是的中点,所以,从而有,即平分.二、填空题6.30(第6题)解:如图,连接PD,则.7.180解:设甲、乙、丙三车的速度分别为每分钟x,y,z米,由题意知,.消去z,得.设甲车出发后t分钟追上乙车,则,即,解得.8.<解:由an==,得a1+a2+…+a2012==<1.9.25解:设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为,则有1≤≤9,且,(1)即,(2)于是.因此中必有一个取5.不妨设,代入(1)式,得到.此时,y可取1,2,…,8,9(相应地z取9,8,…,2,1),共9种放法.同理可得y=5,或者z=5时,也各有9种放法.但时,两种放法重复.因此共有9×3-2=25种放法.10.6(第10题)解:如图,设△ABC内切圆为⊙I,半径为r,⊙I与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,连接IA,IB,IC,ID,IE,IF.由切线长定理得AF=p-a,BD=p-b,CE=p-c,其中p=(a+b+c).在Rt△AIF中,tan∠IAF=,即tan.同理,tan,tan.代入已知等式,得.因此a+c=.三、解答题11.解:已知,又,且,所以b,c是关于x的一元二次方程的两个根.故≥0,≥0,即≥0,所以≥20.于是≤-10,≥10,从而≥≥10,故≥30,当时,等号成立.12.解:将abc=d代入10ab+10bc+10ca=9d得10ab+10bc+10ca=9abc.因为abc≠0,所以,.不妨设a≤b≤c,则≥≥>0.于是,<≤,即<≤,<a≤.从而,a=2,或3.若a=2,则.因为<≤,所以,<≤,<b≤5.从而,b=3,4,5.相应地,可得c=15,(舍去),5.当a=2,b=3,c=15时,d=90;当a=2,b=5,c=5时,d=50.若a=3,则.因为<≤,所以,<≤,<b≤.从而,b=2(舍去),3.当b=3时,c=(舍去).因此,所有正整数解为(a,b,c,d)=(2,3,15,90),(2,15,3,90),(3,2,15,90),(3,15,2,90),(15,2,3,90),(15,3,2,90),(2,5,5,50),(5,2,5,50),(5,5,2,50).13.证明:延长DA至,使得,则,于是△DPC∽△,故,所以PO∥.(第13题)又因为△DPO∽△,所以.同理可得,而AB∥CD,所以,故OP=OQ.14.解:(1)由题设可得,或,或.由,解得;由,解得;由,解得.所以满足题设要求的实数.(2)不存在.由题设(整数≥1)满足首项与末项的积是中间项的平方,则有,解得,这与矛盾.故不存在这样的数列.(3)如果删去的是1,或者是,则由(2)知,或数列均为1,1,1,即,这与题设矛盾.如果删去的是,得到的一列数为,那么,可得.如果删去的是,得到的一列数为,那么,开得.所以符合题设要求的的值为1,或.

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