2012年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试卷

2012年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试卷一、选择题⑴若四个互不相等的正实数,,c,abd满足20122012201220122012acad，20122012201220122012bcbd，则20122012abcd的值为（）A2012B2011C2012D2011⑵一个袋子中装有4个相同的小球，它们分别标有号码1,2,3,4.摇匀后随机取出一球，记下号码后放回；再将小球摇匀，并从袋中随机取出一球，则第二次取出的球的号码不小于第一次取出的球的号码的概率为（）A14B38C12D58⑶如图，矩形纸片ABCD中，3AB，9AD，将其折叠，使点D与点B重合，得折痕EF，则EF的长为（）（A）3（B）23（C）10（D）3102⑷在正就变形ABCDEFGHI中，若对角线2AE,则ABAC的值等于（）（A）3（B）2（C）32（D）52⑸有n个人报名参加甲、乙、丙、丁四项体育比赛活动，规定每人至少参加1项比赛，至多参加2项比赛，但乙、丙两项比赛不能同时兼报，若在所有的报名方式中，必存在一种方式至少有20个人报名，则n的最小值等于（）(A)171(B)172(C)180(D)181二、填空题⑹若12xx，则221xx的值为⑺若四条直线1,1,3,3xyyykx所围成的凸四边形的面积等于12，则k的值为__________.⑻如图，半径为r的O沿折线ABCDE作无滑动的滚动，如果2ABBCCDDEr，150,120ABCCDEBCD，那么，O自点A至点E转动了__________周.(9)如图，已知ABC△中，D为BC中点，,EF为AB边三等分点，AD分别交,CECF于点,MN，则::AMMNND等于_______.(10)若平面内有一正方形ABCD，M是该平面内任意点，则MAMCMBMD的最小值为______.三、解答题⑾已知抛物线2y=x+mx+n经过点(2,-1)，且与x轴交于两点A(a,0)B(b,0)，若点P为该抛物线的顶点，求使PAB△面积最小时抛物线的解析式。⑿如图，分别以边长1为的等边三角形ABC的顶点为圆心，以其边长为半径作三个等圆，得交点DEF、、，连接CF交C于点G，以点E为圆心，EG长为半径画弧，交边AB于点M，求AM的长。⒀已知p与25p-2同为质数，求p的值。⒁已知关于x的不等式组xa+12x-2a的解集中的整数恰好有2个，求实数a的取值范围。答案及详解1、答案：A。可将2012a与2012b看做方程20122012()()2012xcxd的两个解，则20122012abcd化为201212xxcd，因为20122012122012xxcd，所以原式20122、答案：D。可以分四种情况讨论：若第一次抽出1号球，则第二次抽出任一球都可满足条件，概率为114；若第一次抽出2号球，则第二次抽出2,3,4号球可满足要求，概率为1344；若第一次抽出3号球，则第二次抽出3,4号球可满足要求，概率为1244；若第一次抽出4号球，则第二次抽出4号球可满足要求，概率为1144；加和得到最后概率为583、答案：C。因为,9BEEDAD，所以9BEAE，根据勾股定理得到222AEABBE，得到4,5AEBE，易得BFBE，过点E作EGBF于G，541GF，2210EFEGFG4、答案：B。如图，设O为正九边形ABCDEFGHI的中心，连结OEOA、，则160AOE，10OEA，又易得70OED，60DEA，在AE上截取EPED连结DPPC、，1406080PDC，18080502DPC，70CPA，又40CAPBAPBAC，70CAP，ACAP，又ABDEEPAEABAC5、答案：B。对于一个人来说，他的报名方式有两种：报一项或两项。报一项比赛的方式有4种，报两项比赛的方式有2415C种，每个人报名方式有9种，要求有20人相同，可以让每一种方式都有19个人，然后只要任意一种再加一个人即可。所以应该为1991172n6、答案：242。221()24xx，展开后124xx，16xx，128xx即218xx，122xx，221111242xxxxxxxx7、答案：1或2。无论k为正或负，围成的图形均为直角梯形或直角三角形，面积都等于中位线乘以高，高为4，则中位线为3。中位线一定在1y这条直线上，则可得到中点坐标为4,1或2,1，则代入3ykx得到1k或28、答案：143。ABBCCDDE、、、的长度刚好为圆的一个周长，4段线段长度和为4倍周长，也就是圆转了4周，但经过点B从AB到BC时，从与AB相切到与BC相切转动了一个ABC补角的度数，同理CD、两点都要转一个补角度数，总共转了120，即13周长9、答案：5:3:2。如图，作//PDBF，//QEBC，:1:2PDBF，::1:4DNNAPDAF，15NDAD，:::1:3AQQDQEBDAEAB，13AQAD，11214436QMQDADAD，12AMAQQMAD,::5:3:2AMMNND10、答案：22。如图，通过勾股定理易得2222MAMCMBMD，2222cosACMAMCMAMCAMC，2222cosBDMBMDMBMDBMD，ACBDcoscosMAMCAMCMBMDBMD，coscosMAMCBMDMBMDAMC，222222MAMCMAMCMAMCMBMDMBMDMBMD，又2222MAMCMBMD，所以当coscosBMDAMC最小时，这个值最小，所以当90,0BMDAMC时最小，即点M与点AC、重合时11、因为2yxmxn经过2,1，代入得，25nm，2||820ABmm，P点纵坐标为21254mm，3218204PABSmm△，当4m时PABS△最小，解析式为243yxx12、如图，过点E作EPAB，连结EAEC、，易得EAC△为正三角形，所以//ECAB，又,CGABECCG2EMEG60EAP，32EP，12AP，2252PMEMEP，512AMPMAP13、2525113ppp，①当13pn1n，即31pn时，3|5113pp，即252p为合数，不符合题意；②当13pn1n，即31pn时，3|5113pp，即252p为合数，不符合题意；③当3pn2n时，p为合数，不符合题意；此时p只能取3，当3p时，25243p为合数符合题意，所以3p14、