2012年全国高中数学联赛(湖北)赛区预赛试卷

版权所有：21世纪教育网2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）1．已知集合babxxBaxxA,},|{},|{N，且BAN}1{，则ba1．2．已知正项等比数列}{na的公比1q，且542,,aaa成等差数列，则963741aaaaaa352．3．函数741)(2xxxxf的值域为6[0,]6．4．已知1sin2sin322，1)cos(sin2)cos(sin322，则)(2cos13．5．已知数列}{na满足：1a为正整数，,,13,,21为奇数为偶数nnnnnaaaaa如果29321aaa，则1a5．6．在△ABC中，角CBA,,的对边长cba,,满足bca2，且AC2，则Asin74．7．在△ABC中，2BCAB，3AC．设O是△ABC的内心，若ACqABpAO，则qp的值为32．8．设321,,xxx是方程013xx的三个根，则535251xxx的值为－5．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列}{na满足21211143nnnnnnnnnaaaaaaaaa且11a，28a，求}{na的通项公式．解在已知等式两边同时除以1nnaa，得3141112nnnnaaaa，所以211114(11)nnnnaaaa．------------------------------------------4分令111nnnaab,则nnbbb4,411，即数列}{nb是以1b＝4为首项,4为公比的等比数列，所以nnnbb4411.------------------------------------------8分所以nnnaa4111,即nnnaa]1)14[(21.------------------------------------------12分于是，当1n时,22221121]1)14[(]1)14[(]1)14[(nnnnnnaaa112111121]1)14[(]1)14[(nkknkka，因此,.2,]1)14[(,1,11121nnankkn------------------------------------------16分10．已知正实数ba,满足122ba，且333)1(1bamba，求m的最小值．解令cos,sinab，02，则322333)1sin(cos1)sinsincos)(cossin(cos)1sin(cos1sincosm．----------------------------------------5分令sincosx，则]2,1()4sin(2x，且21sincos2x．------------------------------10分于是21)1(23)1(22)1(22)1(232)1(1)211(223332xxxxxxxxxxxxm．------------------------------15分因为函数21)1(23)(xxf在]2,1(上单调递减，所以)1()2(fmf．因此，m的最小值为2423)2(f．------------------------------------------20分11．设)3(log)2(log)(axaxxfaa，其中0a且1a．若在区间]4,3[aa上1)(xf恒成立，求a的取值范围．解22225()log(56)log[()]24aaaafxxaxax．由,03,02axax得ax3，由题意知aa33，故23a，从而53(3)(2)022aaa，故函数225()()24aagxx在区间]4,3[aa上单调递增.------------------------------------------5分（1）若10a，则)(xf在区间]4,3[aa上单调递减，所以)(xf在区间]4,3[aa上的最大值为)992(log)3(2aaafa．在区间]4,3[aa上不等式1)(xf恒成立，等价于不等式1)992(log2aaa成立，从而aaa9922，解得275a或275a．结合10a得10a．------------------------------------------10分（2）若231a，则)(xf在区间]4,3[aa上单调递增，所以)(xf在区间]4,3[aa上的最大值为)16122(log)4(2aaafa.在区间]4,3[aa上不等式1)(xf恒成立，等价于不等式1)16122(log2aaa成立，从而aaa161222，即0161322aa，解得4411344113a．易知2344113，所以不符合．------------------------------------------15分综上可知：a的取值范围为(0,1)．------------------------------------------20分