2012年全国高中数学联赛试题

2012年全国高中数学联赛试题考试时间：2012年10月14日上午8:00-9:20一．填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。把答案填在试卷相应题号的横上。1.设𝑃是函数𝑦=𝑥+2𝑥(𝑥0)的图像上任意一点，过点𝑃分别向直线𝑦=𝑥和𝑦轴作垂线，垂足分别为𝐴,𝐵，则𝑃𝐴�����⃗⋅𝑃𝐵�����⃗的值是______________。2.设△𝐴𝐵𝐴的内角𝐴,𝐵,𝐴的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐，且满足𝑎cos𝐵−𝑏cos𝐴=35𝑐，则tan𝐴tan𝐵的值是_________________。3.设𝑥,𝑦,𝑧∈[0,1]，则𝑀=�|𝑥−𝑦|+�|𝑦−𝑧|+�|𝑧−𝑥|的最大值是____________。4.抛物线𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)的焦点为𝐹，准线为𝑙，𝐴,𝐵是抛物线上的两个动点，且满足∠𝐴𝐹𝐵=𝜋3，设线段𝐴𝐵的中点𝑀在𝑙上的投影为𝑁，则|𝑀𝑀||𝐴𝐵|的最大值是___________。5.设同底的两个正三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐴和𝑄−𝐴𝐵𝐴内接于同一个球。若正三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐴的侧面与底面所成的角为45°，则正三棱锥𝑄−𝐴𝐵𝐴的侧面与底面所成角的正切值是_____________。6.设𝑓(𝑥)是定义在𝐑上的奇函数，且当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)=𝑥2。若对任意的𝑥∈[𝑎,𝑎+2]，不等式𝑓(𝑥+𝑎)≥2𝑓(𝑥)恒成立，则实数𝑎的取值范围是_______________。7.满足14sin𝜋𝑛13的所有正整数𝑛的和是________________。8.某情报站有𝐴,𝐵,𝐴,𝐷四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。设第1周使用𝐴种密码，那么第7周也使用𝐴种密码的概率是______________。（用最简分数表示）。二．解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤。9.（本小题满分16分）已知函数𝑓(𝑥)=𝑎sin𝑥−12cos2𝑥+𝑎−3𝑎+12，𝑎∈𝐑且𝑎≠0。（1）若对任意𝑥∈𝐑，都有𝑓(𝑥)≤0，求𝑎的取值范围；（2）若𝑎≥2，且存在𝑥∈𝐑，使得𝑓(𝑥)≤0，求𝑎的取值范围。10.（本小题满分20分）已知数列{𝑎𝑛}的各项均为非零实数，且对于任意的正整数𝑛，都有(𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎𝑛)2=𝑎13+𝑎23+⋯+𝑎𝑛3（1）当𝑛=3时，求所有满足条件的三项组成的数列𝑎1,𝑎2,𝑎3；（2）是否存在满足条件的无穷数列{𝑎𝑛}，使得𝑎2013=−2012？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由。11.（本小题满分20分）如图，在平面直角坐标系𝑋𝑋𝑋中，菱形𝐴𝐵𝐴𝐷的边长为4，且|𝑋𝐵|=|𝑋𝐷|=6。（1）求证：|𝑋𝐴|⋅|𝑋𝐴|为定值；（2）当点𝐴在半圆𝑀:(𝑥−2)2+𝑦2=4(2≤𝑥≤4)上运动时，求点𝐴的轨迹。YXCAOBD2012年全国高中数学联赛加试试题考试时间：2012年10月14日上午9:40-12:10一、（本题满分40分）如图，在锐角△𝐴𝐵𝐴中，𝐴𝐵𝐴𝐴,𝑀,𝑁是𝐵𝐴边上两个不同的点，使得∠𝐵𝐴𝑀=∠𝐴𝐴𝑁。设△𝐴𝐵𝐴和△𝐴𝑀𝑁的外心分别为𝑋1,𝑋2，求证：𝑋1,𝑋2,𝐴三点共线。二、（本题满分40分）试证明：集合𝐴={2,22,⋯,2𝑛,⋯}满足（1）对每个𝑎∈𝐴，及𝑏∈𝑁∗，若𝑏2𝑎−1，则𝑏(𝑏+1)一定不是2𝑎的倍数；（2）对每个𝑎∈𝐴（其中𝐴表示𝐴在𝑁∗中的补集），且𝑎≠1，必存在𝑏∈𝑁∗,𝑏2𝑎−1，使𝑏(𝑏+1)是2𝑎的倍数。三、（本题满分50分）设𝑃0,𝑃1,𝑃2,⋯,𝑃𝑛是平面上𝑛+1个点，它们两两间的距离的最小值为𝑑(𝑑0)，求证：|𝑃0𝑃1|⋅|𝑃0𝑃2|⋅⋯⋅|𝑃0𝑃𝑛|(𝑑3)𝑛�(𝑛+1)!四、（本题满分50分）设𝑆𝑛=1+12+⋯+1𝑛，𝑛是正整数。证明：对满足0≤𝑎𝑏≤1的任意实数𝑎,𝑏，数列{𝑆𝑛−[𝑆𝑛]}中有无穷多项属于(𝑎,𝑏)。这里，[𝑥]表示不超过实数𝑥的最大整数。O2O1NMABC