2012年浙江省高中数学竞赛试题

2012年浙江省高中数学竞赛试题总分200分一、选择题（50分）1、已知i是虚数单位，则复数122ii=（）AiBiC4355iD4355i2、下列函数中，既是奇函数，又是在区间(,)上单调递增的函数是（）A2yxxB2sinyxxC3yxxDtanyx3、已知,ab均为单位向量，其夹角为，则命题:1pab是命题5:[,)26q的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件4、已知集合|12,|21PxxMxaxa，若PMP，则实数a的取值范围是（）A(,1]B[1,)C[1,1]D[1,)5、函数3sin()cos()226yxx的最大值是（）A134B134C132D136、如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）AABSABBC平面SADCBC与SA所成的角等于AD与SC所成的角DSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角7、程序框图如图所示，若22(),()logfxxgxx，输入x的值为0.25，则输出的结果是（）A0.24B2C2D0.258、设,ij分别表示平面直角坐标系,xy轴上的单位向量，且25aiaj，则2ai的取值范围是（）A[22,3]B65[,22]5C[5,4]D65[,3]59、已知12,FF分别为双曲线22:1927xyC的左右焦点，点A的坐标为9135(,)22，则12FAF的平分线与轴的交点M的坐标为（）A(2,0)B(2,0)C(4,0)D(4,0)10、设2()fxxbxc，若方程()fxx无实根，则方程(())ffxx（）A有四个相异实根B有两个相异实根C有一个实根D无实数根二、填空题（共49分）11、设直线4yax与直线8yxb关于直线yx对称，则___,____.ab12、已知1cossin1cosxxx，则_______.x13、已知xR，则2(1)arcsin(1)xxxx的值为_______.14、已知实数,,,abcd满足221abcd，则22()()acbd的最小值为_______.15、设数列na为等比数列，且每项都大于1，则201112012111lglglglgiiiaaaa的值为_______.16、设0x，则44433311()()()11()()xxxxfxxxxx的最小值为_______.17、如图是一个残缺的33幻方，此幻方每一行每一列及每一条对角线上得三个数之和有相等的值，则x的值为_______.三、解答题（每题17分，共51分）401720124015112014918、已知实数1210,,,xxx满足101011|1|4,|2|6iiiixx，求1210,,,xxx的平均值.19、设P为椭圆2212516xy长轴上一个动点，过点P斜率为k直线交椭圆于两点。若22PAPB的值仅仅依赖于k而与P无关，求k的值.20、设,pqZ，且2pq。试证对nZ，存在NZ，使22()nnppqNNq且22()nnppqNNq.四、附加题（每题25分，共50分）。21、设圆4O与1O，圆1O与2O，圆2O与3O，圆3O与4O分别外切于1234,,,PPPP，试证：（1）1234,,,PPPP四点共圆；（2）四边形1234OOOO是某个圆的外切四边形；并且该圆的半径不超过四边形1234,,,PPPP的外接圆的半径.22、设1210,,,iii为1,2,,10的一个排列，记1234910Siiiiii，求S可以取到的所有值.