2012全国高中数学联赛广东预赛试题

2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题（考试时间：2012年9月8日上午10∶00—11∶20）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上1.已知02014201320112010201222kk，则k.答案：220122（或4048142）解:2222(2)(1)(1)(2)(4)(1)nnnnnnnn24222(54)(2).nnnn2.函数()sin()sin()cos366fxxxx的最小值等于.答案：1解：因为()sincoscossinsincoscossincos366663sincos32sin()3,6fxxxxxxxxx所以)(xf的最小值为1.3.已知1()2bxfxxa，其中,ab为常数，且2ab.若1()()fxfkx为常数，则k的值为.答案：1.4解：由于222211(1)()()222(4)2bxbxbxbxbkfxfxxaaxaxaxa是常数，故2akb，且22(4)1akb.将2bak代入22(4)1akb整理得22(4)(14)0kkak，分解因式得2(41)(1)0kka.若410k，则210ka，因此222abka，与条件相矛盾.故410k，即14k.4.已知方程2133xxp有两个相异的正实数解，则实数p的取值范围是.答案：9(,2).4解法一：令3xt，则原方程化为230ttp.根据题意，方程230ttp有两个大于1的相异实根.令2()3ftttp，则22(3)40,9(1)1310,2.431.2pfpp解法二：令3xy，则原方程化为230yyp.注意到这个关于y的方程最多有两个解，而由3xy严格单调递增知每个y最多对应一个x，因此所求的p应当使230yyp有两个相异的实数解12,yy，且满足12123,3xxyy的两个实数12,xx都是正的.由于12,xx都是正的，故12,yy都应大于1.由于123yy，故213yy，因此1y必须满足11y，131y及113yy.因此1y的取值范围为33(1,)(,2)22.因此1211(3)pyyyy的取值范围为9(,2)4.5.将25个数排成五行五列：11121314152122232425313233343541424344455152535455aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa已知第一行11a,12a,13a,14a,15a成等差数列，而每一列1ja，2ja，3ja，4ja，5ja（15j）都成等比数列，且五个公比全相等.若244a,412a,4310a,则1155aa的值为______.答案：11解：可知每一行上的数都成等差数列，但这五个等差数列的公差不一定相等.由412a,4310a知4210(2)42a且公差为6，故4416a,4522a.由244a,4416a知公比2q.若2q，则113214as,55222411a，故115511aa；若2q，则113214as,5522(2)4(11)a，故115511aa.6.设点P在曲线12xye上，点Q在曲线ln(2)yx上，则PQ的最小值为______.解：2(1ln2).函数12xye与函数ln(2)yx互为反函数，图象关于yx对称.函数12xye上的点1(,)2xPxe到直线yx的距离为122xexd.设函数minmin111ln2()()1()1ln2222xxgxexgxegxd.由图象关于yx对称得：PQ最小值为min22(1ln2)d.7.将2个a和2个b共4个字母填在4×4方格表的16个小方格内，每个小方格内至多填一个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数共有.答案：3960解：使得2个a既不同行也不同列的填法有224472CA种，使得2个b既不同行也不同列的填法有224472CA种，故由乘法原理，这样的填法共有272种.其中不合要求的有两种情况：2个a所在的方格内都填有b的情况有72种；2个a所在的方格内恰有1个方格填有b的情况有121691672CA种.所以，符合条件的填法共有2727216723960种.8.一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为112，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为80，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为156，则该梯形的周长为.答案：16213.解：设梯形的上底长为a，下底长为b，高为h，则梯形绕上底旋转所得旋转体的体积为22211()(2)33hbhabhab，因此21(2)1123hab，即2(2)336hab.同理有2(2)240hab，两式相除得2336722405abab，去分母化简得3ba，代入2(2)336hab得248ah.注意到直角腰长等于高h，梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台，其体积为221()1563haabb.将3ba代入化简得236ah.结合248ah可解得3,4ah，因此9b，由勾股定理知另一条腰的长度为224(93)213，因此梯形的周长为39421316213.二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．（本小题满分16分）设椭圆2222+=1xyab(0)ab的左、右顶点分别为,AB，点P在椭圆上且异于,AB两点，O为坐标原点.若||=||APOA，证明：直线OP的斜率k满足||3k.解法一：设(cos,sin)(02)Pab,(,0)Aa.由||||APOA，有22(cos)(sin)aaba，即22222cos2cossin0aab.……4分从而22222221cos0,cos2cossinsin.aaba所以，1cos02，且2222sin213coscosba.所以，sin2||13.coscosbka……16分解法二：设(cos,sin)(02)Pab.则线段OP的中点(cos,sin)22abQ.||=||APOA1AQAQOPkk.sinsincos22cosAQAQAQbkbakakaa.……8分22222222222)cos(sin)(2AQAQAQAQkaakabkbbak1||||33AQkk.……16分2．（本小题满分20分）设非负实数a，b，c满足3cba.求222222()()()Saabbbbccccaa的最大值.解：不妨设cba.显然有222bbccb，222ccaaa.……………5分根据AM-GM不等式可得2222223662255433()()9223344()4()()12.229333ababSabaabbaabbababababcaabb……………15分所以S的最大值为12，这时0,1,2,,cba.……………20分3．（本小题满分20分）求出所有的函数**:fNN使得对于所有x，y*N，2(())fxy都能被2()fyx整除.解：根据题目的条件，令1yx，则2((1))1f能被(1)1f整除.因此2((1))(1)ff能被(1)1f整除，也就是(1)((1)1)ff能被(1)1f整除.因为(1)f与(1)1f互素，所以(1)1f能被(1)1f整除，且(1)1(1)1ff，所以(1)10f，(1)1f.……………10分令1y，则2(())1fx能被21x整除，因此22(())fxx.从而()fxx，对所有x*N.令1x，则1y能被()1fy整除.从而()yfy，对所有y*N.综上所述，()fxx，对所有x*N.……………20分