2013—2014学年第二学期上海市高三八校联考数学（理科）试卷

2013—2014学年第二学期上海市高三年级八校联合调研考试数学（理科）试卷一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.在复平面上，复数232i对应的点到原点的距离为．2.已知函数xxxf44cossin0的最小正周期是π，则．3.向量在向量方向上的投影为．4.已知正数,ab满足2ab，则行列式111111ab的最小值为．5.阅读右边的程序框图，如果输出的函数值y在区间141,内，则输入的实数x的取值范围是．6.设、是一元二次方程022mxx的两个虚根.若||4，则实数m．7.集合011xxxA，abxxB．若“a＝1”是“AB”的充分条件，则实数b的取值范围是．8.已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为(0,1)A，其右焦点到直线220xy的距离为3，则椭圆的方程为．9.在△ABC中，ABC、、所对边分别为a、b、c．若tan210tanAcBb＝，则A．10.已知数列na的首项12a，其前n项和为nS．若121nnSS，则na．11.某地球仪上北纬30纬线长度为12cm，该地球仪的表面上北纬30东经30对应点A与北纬30东经90对应点B之间的球面距离为cm（精确到0.01）．12.已知直线2xky与抛物线xyC8:2相交于A、B两点，F为抛物线C的焦点．若||2||FAFB，则实数k．13.将()22xxafx的图像向右平移2个单位后得曲线1C，将函数()ygx的图像向下平移2个单位后得曲线2C，1C与2C关于x轴对称．若()()()fxFxgxa的最小值为m且27m，则实数a的取值范围为．14.已知“,,,,,abcdef”为“1,2,3,4,5,6”的一个全排列．设x是实数，若“()()0xaxb”可推出“()()0xcxd或()()0xexf”，则满足条件的排列“,,,,,abcdef”共有__________个．二．选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15.函数21212xxxf的反函数是（）(A)22(13)yxx．(B)22(3)yxx．(C)22(13)yxx．(D)22(3)yxx．16.直线l的法向量是,nab.若0ab，则直线l的倾斜角为()(A)arctanba(B)arctanab(C)arctanab(D)arctanba17.已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点.若||||ABAC，则ABAC的最小值是（）(A)0．（B）14．（C）12．（D）34．18.已知等差数列{}na的公差0d，前n项和为nS，则对正整数m，下列四个结论中：（1）232,,mmmmmSSSSS成等差数列，也可能成等比数列；（2）232,,mmmmmSSSSS成等差数列，但不可能成等比数列；（3）23,,mmmSSS可能成等比数列，但不可能成等差数列；（4）23,,mmmSSS不可能成等比数列，也不可能成等差数列；正确的是（）(A)（1）（3）.（B）（1）（4）.（C）（2）（3）.（D）（2）（4）.三．解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19.（本题满分12分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）在直三棱柱111ABC-ABC中,90ABC=,11,2AB=BC=BB=，求：（1）异面直线11BC与1AC所成角的大小；（2）直线11BC到平面BCA1的距离．20.(本题满分14分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分)已知xbxxf24lg2，其中b是常数．（1）若xfy是奇函数，求b的值；（2）求证：xfy的图像上不存在两点A、B，使得直线AB平行于x轴．21.（本题满分14分；第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分）如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设11HAA．（1）试用表示11HAA的面积；（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小．22.（本题满分16分；第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）ACBDEFGHA1B1C1D1E1F1G1H1已知点1F、2F为双曲线C：01222bbyx的左、右焦点，过2F作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且3021FMF．圆O的方程是222byx．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P、2P，求21PPPP的值；（3）过圆O上任意一点00y,xQ作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB中点为M，求证：2ABOM．23.（本题满分18分；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）在等差数列na和等比数列nb中，112ab，222abb，nS是nb前n项和．（1）若lim3nnSb，求实数b的值；（2）是否存在正整数b，使得数列nb的所有项都在数列na中？若存在，求出所有的b，若不存在，说明理由；（3）是否存在正实数b，使得数列{}nb中至少有三项在数列{}na中，但{}nb中的项不都在数列{}na中？若存在，求出一个可能的b的值，若不存在，请说明理由．2013—2014学年第二学期上海市高三年级八校联合调研考试数学（理科）参考答案一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．题号1234567答案35122（-2,2）302,4题号891011121314答案2213xy23221322nnnan6.212231(,2)2224二．选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分．题号15161718答案DBCD三．解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19.（本题满分12分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）在直三棱柱111ABC-ABC中,90ABC=,11,2AB=BC=BB=，求：（1）异面直线11BC与1AC所成角的大小；（2）直线11BC到平面BCA1的距离．解：（1）因为11//BCBC，所以1ACB（或其补角）是异面直线11BC与1AC所成角.………………1分因为BC^AB,BC^BB1,所以BC平面1ABB，所以1BCAB.………………3分在1RtABC中,11tan5ABACBBC,所以1arctan5ACB………………5分所以异面直线11BC与1AC所成角的大小为arctan5．………………6分（2）因为11BC//平面1ABC所以11BC到平面1ABC的距离等于1B到平面1ABC的距离………………8分设1B到平面1ABC的距离为d，因为111BABCABBCVV，所以11111133ABCBBCSdSAB………………10分可得255d………………11分直线11BC与平面1ABC的距离为255．………………12分20.(本题满分14分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分)函数xbxxf24lg2，其中b是常数且Rb．（1）若函数xfy是奇函数，求b的值；（2）求证：函数xfy的图像上不存在两点A、B，使得直线AB平行于x轴．解：（1）解法一：设yfx定义域为D,则：因为xfy是奇函数，所以对任意xD，有0fxfx，…………3分得1b.…………5分此时，2lg41fxxx，DR，为奇函数。…………6分解法二：当0b时，函数()fx的定义域不关于原点对称，函数不是奇函数.…………2分当0b时，函数()fx的定义域是一切实数.…………3分要使得函数是奇函数，则0fxfx对xR成立。…………5分所以1b…………6分（2）设定义域内任意12xx，设2()42hxxbx221211224242hxhxxbxxbx2212122212222[]44xxxxxbxb121222122()2144xxxxxbxb…………9分当0b时，总有210xx，1222122()0144xxxbxb，得12hxhx；…………11分当0b时，221211220,42,42,xxxbxxbx1222122()1144xxxbxb，得12hxhx。故总有fx在定义域上单调递增…………13分xfy的图像上不存在两点，使得所连的直线与x轴平行…………14分21.（本题满分14分；第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分）如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设11HAA．（1）试用表示11HAA的面积；（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小．解：（1）设1AH为x,∴4sintanxxx，4sinsincos1x，…………3分112218sincos2tansincos1AAHxS,(0,)2，…………7分（2）令sincos(1,2]t，…………9分只需考虑11AAHS取到最大值的情况，即为22418411tStt，………11分ACBDEFGHA1B1C1D1E1F1G1H1当2t,即45时,11AAHS达到最大………13分此时八角形所覆盖面积的最大值为64-322．………14分22.（本题满分16分，共3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知点1F、2F为双曲线C：01222bbyx的左、右焦点，过2F作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且3021FMF．圆O的方程是222byx．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P、2P，求21PPPP的值；（3）过圆O上任意一点00y,xQ作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB中点为M，求证：．解：（1）设2,FM的坐标分别为220(1,0),(1,)bby因为点M在双曲线C上，所以220211ybb，即20yb，所以22MFb在21RtMFF中，01230MFF，22MFb，所以212MFb……2分由双曲线的定义可知：2122MFMFb故双曲线C的方程为：2212yx……4分（2）由条件可知：两条渐近线分别为12:20;:20lxylxy……5分设双曲线C上的点00(,)Qxy，设两渐近线的夹角为，则则点Q到两条渐近线的距离分别为00001222||,||33xyxyPPPP……7分因为00(,)Qxy在双曲线C：2212yx上，所以220022xy又1cos3，所以2200000022212cos33933xyxyxy……10分（3）由题意，即证：OAOB