2013高考数学精讲精练第03章 三角函数A

2013高中数学精讲精练第三章三角函数A【知识导读】【方法点拨】三角函数是一种重要的初等函数，它与数学的其它部分如解析几何、立体几何及向量等有着广泛的联系，同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法——“三角法”．这一部分的内容，具有以下几个特点：1．公式繁杂.公式虽多，但公式间的联系非常密切，规律性强.弄清公式间的相互联系和推导体系，是记住这些公式的关键.2．思想丰富.化归、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终，类比的思维方法在本单元中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等.3．变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数表达形式的变换及一些常量的变换等，并且有的变换技巧性较强.4．应用广泛.三角函数与数学中的其它知识的结合点非常多，它是解决立体几何、解析几何及向量问题的重要工具，并且这部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用，比如在物理学、天文学、测量学及其它各门科学技术都有广泛的应用.任意角的概念角度制与弧度制任意角的三角函数弧长与扇形面积公式三角函数的图象和性质和角公式差角公式几个三角恒等式倍角公式同角三角函数关系诱导公式正弦定理与余弦定理解斜三角形及其应用化简、计算、求值与证明第1课三角函数的概念【考点导读】1．理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算．角的概念推广后，有正角、负角和零角；与终边相同的角连同角本身，可构成一个集合ZkkS,360；把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1弧度的角，熟练掌握角度与弧度的互换，能运用弧长公式rl及扇形的面积公式S＝lr21（l为弧长）解决问题.2．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.角的概念推广以后，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立直角坐标系，在角的终边上任取一点(,)Pxy（不同于坐标原点），设OPr（220rxy），则的三个三角函数值定义为：sin,cos,tanyxyrrx．从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为R；正切函数的定义域为{|,,}2RkkZ．3．掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值．由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全为正值），二正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限内只有余弦值为正）．另外，熟记0、6、4、3、2的三角函数值，对快速、准确地运算很有好处.4．掌握正弦线、余弦线、正切线的概念．在平面直角坐标系中，正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题．【基础练习】1．885化成2(02,)kkZ的形式是．2．已知为第三象限角，则2所在的象限是．3．已知角的终边过点(5,12)P，则cos=，tan=．4．tan(3)sin5cos8的符号为．5．已知角的终边上一点(,1)Pa（0a），且atan，求sin，cos的值．解：由三角函数定义知，1a，当1a时，2sin2，2cos2；当1a时，2sin2，2cos2．13612第二或第四象限513125正【范例解析】例1.（1）已知角的终边经过一点(4,3)(0)Paaa，求2sincos的值；（2）已知角的终边在一条直线3yx上，求sin，tan的值．分析：利用三角函数定义求解．解：（1）由已知4xa，5ra．当0a时，5ra，3sin5，4cos5，则22sincos5；当0a时，5ra，3sin5，4cos5，则22sincos5．（2）设点(,3)(0)Paaa是角的终边3yx上一点，则tan3；当0a时，角是第一象限角，则3sin2；当0a时，角是第三象限角，则3sin2．点评：要注意对参数进行分类讨论．例2.（1）若sincos0，则在第_____________象限．（2）若角是第二象限角，则sin2，cos2，sin2，cos2，tan2中能确定是正值的有____个．解：（1）由sincos0，得sin，cos同号，故在第一，三象限．（2）由角是第二象限角，即222kk，得422kk，4224kk，故仅有tan2为正值．点评：准确表示角的范围，由此确定三角函数的符号．例3.一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？分析：选取变量，建立目标函数求最值．解：设扇形的半径为x㎝，则弧长为(202)lx㎝，故面积为21(202)(5)252yxxx，当5x时，面积最大，此时5x，10l，2lx，所以当2弧度时，扇形面积最大252cm．点评：由于弧度制引入，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数．【反馈演练】1．若sincos且sincos0则在第_______象限．2．已知6，则点(sin,tan)A在第________象限．3．已知角是第二象限，且(,5)Pm为其终边上一点，若2cos4m，则m的值为_______．4．将时钟的分针拨快30min，则时针转过的弧度为．5．若46，且与23终边相同，则=．6．已知1弧度的圆心角所对的弦长2，则这个圆心角所对的弧长是_______，这个圆心角所在的扇形的面积是___________．7．（1）已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．（2）若扇形的面积为82cm，当扇形的中心角(0)为多少弧度时，该扇形周长最小．简解：（1）该扇形面积22cm；（2）2182rlyrl，得16282yrr，当且仅当22r时取等号．此时，42l，2lr．第2课同角三角函数关系及诱导公式二三31216311sin211cos1【考点导读】1.理解同角三角函数的基本关系式；同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函数间的联系．2.掌握正弦，余弦的诱导公式；诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律，起着变名，变号，变角等作用．【基础练习】1.tan600°=______．2.已知是第四象限角，5tan12，则sin______．3.已知3cos22，且2，则tan＝______．4.sin15°cos75°+cos15°sin105°=___1___．【范例解析】例1.已知8cos()17，求sin(5)，tan(3)的值．分析：利用诱导公式结合同角关系，求值．解：由8cos()17，得8cos017，是第二，三象限角．若是第二象限角，则15sin(5)sin17，15tan(3)tan8；若是第三象限角，则15sin(5)sin17，15tan(3)tan8．点评：若已知正弦，余弦，正切的某一三角函数值，但没有确定角所在的象限，可按角的象限进行分类，做到不漏不重复．例2.已知是三角形的内角，若1sincos5，求tan的值．分析：先求出sincos的值，联立方程组求解．解：由1sincos5两边平方，得112sincos25，即242sincos025．又是三角形的内角，cos0，2．由249(sincos)25，又sincos0，得7sincos5．联立方程组1sincos57sincos5，解得4sin53cos5，得4tan3．点评：由于2(sincos)12sincos，因此式子sincos，sincos，sincos三者之间有密切的联系，知其一，必能求其二．【反馈演练】3513－31．已知5sin5,则44sincos的值为_____．2．“21sinA”是“A=30º”的必要而不充分条件．3．设02x,且1sin2sincosxxx，则x的取值范围是544x4．已知1sincos5，且324≤≤，则cos2的值是．5．（1）已知1cos3，且02，求2cos()3sin()4cos()sin(2)的值．（2）已知1sin()64x，求25sin()sin()63xx的值．解：（1）由1cos3，得tan22．原式=2cos3sin23tan4cossin4tan5222．（2）1sin()64x，225sin()sin()sin[()]sin[()]63626xxxx219sin()cos()6616xx．6．已知4tan3，求（I）6sincos3sin2cos的值；（II）212sincoscos的值．解：（I）∵4tan3；所以6sincos3sin2cos=6tan13tan2=46()173463()23．（II）由4tan3，于是212sincoscos2222sincostan152sincoscos2tan13．第3课两角和与差及倍角公式（一）53725【考点导读】1.掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系；2.能运用上述公式进行简单的恒等变换；3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换”，“名称变换”，“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系；4.证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法将等式两端的“异”化“同”．【基础练习】1.sin163sin223sin253sin313___________．2.化简2cos6sinxx_____________．3.若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝___________．4.化简：sinsin21coscos2___________．【范例解析】例.化简：（1）42212cos2cos22tan()sin()44xxxx；（2）(1sincos)(sincos)22(0)22cos．（1）分析一：降次，切化弦．解法一：原式=2221(2cos1)22sin()4cos()4cos()4xxxx22(2cos1)4sin()cos()44xxx2cos22sin(2)2xx1cos22x．分析二：变“复角”为“单角”．解法二：原式221(2cos1)21tan222(sincos)1tan22xxxxx22cos2cossin2(sincos)cossinxxxxxxx1cos22x．（2）原式=22(2sincos2cos)(sincos)222224cos222cos(sincos)coscos2222coscos220，022，cos02，原