2013高中数学竞赛试题精选

已知1111ABCDABCD是一个棱长为1的正方体，1O是底面1111ABCD的中心，M是棱1BB上的点，且:2:3SS11△DBM△OBM，则四面体1OADM的体积为748（江苏2007夏令营）在正方体1111DCBAABCD中，P是侧面CCBB11内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是抛物线已知x为锐角，则22cossin33xx是4x的（充要条件）同信一寝室的四名女生，她们当中有一人在修指甲，一人在看书，一人在梳头发，另一人在听音乐。①A既不在修指甲，也不在看书；②B既不在听音乐，也不在修指甲；③如果A不在听音乐，那么C不在修指甲；④D既不在看书，也不在修指甲；⑤C既不在看书，也不在听音乐。若上面的命题都是真命题，问她们各在干什么？答：ABCD分别在听音乐；看书；修指甲；梳头发已知)1(3tanm，且,,0tan)tan(tan3m为锐角，则的值为3)5tan5(cot10sin20sin220cos12330cos函数dcxbxaxxxf234)(，若3)3(,2)2(,1)1(fff，那么)4()0(ff的值为（28）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为cba,,，且31cosA。（1）求ACB2cos2sin2的值；（2）若3a，求bc的最大值。（-1/9；9/4）若m、22101010nxxaaa，其中1234567ia，，，，，，，012i，，，并且636mn，则实数对(,)mn表示平面上不同点的个数为（90）圆锥曲线0|3|102622yxyxyx的离心率是2.斜三棱柱111ABCABC中，面11AACC是菱形，160ACC，侧面11ABBA11AACC，11ABABAC.求证：（1）1AA1BC；（2）求点1A到平面ABC的距离.515满足20073xxy的正整数数对（x，y）恰有两对设集合M={-2，0，1}，N={1，2，3，4，5}，映射f：MN使对任意的x∈M，都有)()(xxfxfx是奇数，则这样的映射f的个数是（45）将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。那么，所有的三位数中，奇和数有（100）个设61a，)](24345[21Nnaaannn，其中[x]表示不超过x的最大整数。则200721aaa的个位数字为（2）1251nna设a1，a2，…，a2007均为正实数，且21212121200721aaa，则200721aaa的最小值是。20074012将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b。则使不等式a−2b+100成立的事件发生的概率等于（8161）设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x−c)=1对任意实数x恒成立，则acbcos的值等于−1.将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的4X4（16）个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有3960种设nknknka1)1(1，求证：当正整数n≥2时，an+1an(07全国)数812934756是一个包含1至9每个数字恰好一次的九位数，它具有如下性质：数字1至6在其中是从小到大排列的，但是数字1至7不是从小到大排列的．这样的九位数共有432个．一个三角形的最短边长度是1，三个角的正切值都是整数，则该三角形的最长边的长度为553正三棱锥底面一个顶点与它所对侧面重心的距离为8，则这个正三棱锥的体积的最大值为144对每一个正整数k，设kak1211，则49493212500)99753(aaaaa=－1225集合7,6,5,4,3,2,1S的五元子集共有21个，每个子集的数从小到大排好后，取出中间的数，则所有这些数之和是（84）（07福建）已知xxxfsin22sin)(，xxxg413)(，若对任意),0(,21xx恒有mxgxf)()(21，试求m的最大值．23（07吉林）D251/32（07陕西）038/153若实数,xy满足：1031031031031,125263536xyxy，则1010332356xy抛物线顶点为O，焦点为F，M是抛物线上的动点，则MOMF的最大值为233过直线l：9yx上的一点P作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为123,0,3,0FF，则椭圆的方程2214536xy数列na满足：111,211nnnnaaanna；令12,kkxaaa12111,1,2,kkykaaa；求1nkkkxy21311436nnnn15、若四位数nabcd的各位数码,,,abcd中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称n为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数．93049843841681方程6)5)(2()4)(1(33xxxx的实数解的个数为0已知ba,为正整数，ba，实数yx,满足)(4byaxyx，若yx的最大值为40，则满足条件的数对),(ba的数目为56．过四面体ABCD的顶点D作半径为1的球，该球与四面体ABCD的外接球相切于点D，且与平面ABC相切。若23,45,60ADBADCADBAC，则四面体ABCD的外接球的半径r为3．设集合222221234512345,,,,,,,,,AaaaaaBaaaaa，其中12345,,,,aaaaa是五个不同的正整数，123451414,,,10aaaaaABaaaa，若AB中所有元素的和为246，则满足条件的集合A的个数为2已知数列0nan满足010,1aa，对于所有正整数n，有1122007nnnaaa，求使得2008na成立的最小正整数n。（2008）07天津在12)2(nx的展开式中，x的幂指数是整数的各项系数之和为（)13(2112n）在1，2，3，4，5的排列54321,,,,aaaaa中，满足条件,,2321aaaa4543,aaaa的排列个数是（16）在三角形ABC中，已知三个内角A、B、C成等差数列，设他们所对的边分别是a、b、c，并且ac等于AC边上的高h，则2sinAC21斜率为1的直线与椭圆2214yx交于A、B两点，P为线段AB上的点，且2APPB.则P点的轨迹方程是_2)(5324xyyx)5(xy一枚均匀的硬币掷十次，没有连续出现正面向上的概率是_649a、b、c为正实数，试证明：103999222abcccabbbcaa设222(,,)sin()sin()sin()fxyzxyyzzx，,,xyzR，求(,,)fxyz的最大值94（07浙江）