2013高中数学联赛(精选)

2013高中数学联赛指导目前同学们应进入数学竞赛2013年4月的备战状态中了，下面公布新一季的政策供同学们参考并且有计划地自行复习。预祝取得好成绩。联赛分为一试、加试（即俗称的“二试”）。各个省份自己组织的“初赛”、“初试”、“复赛”等等，都不是正式的全国联赛名称及程序。一试和加试均在每年10月中旬的第一个周日举行。一试考试时间为上午8：00-9：20，共80分钟。试题分填空题和解答题两部分，满分120分。其中填空题8道，每题8分；解答题3道，分别为16分、20分、20分。加试（二试）考试时间为9：40-12：10，共150分钟。试题为四道解答题，前两道每题40分，后两道每题50分，满分180分。试题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学等。各省、市、自治区赛区一等奖排名靠前的同学可参加中国数学奥林匹克（CMO）。加试内容：1、平面几何补充要求：面积和面积方法。几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。几何不等式。简单的等周问题。了解下述定理：在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。几何中的运动：反射、平移、旋转。复数方法、向量方法。平面凸集、凸包及应用。2、代数在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。第二数学归纳法。递归，一阶、二阶递归，特征方程法。函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应用。圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。3、立体几何多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。正多面体，欧拉定理。体积证法。截面，会作截面、表面展开图。4、平面解析几何直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。二元一次不等式表示的区域。三角形的面积公式。圆锥曲线的切线和法线。圆的幂和根轴。5、其它抽屉原理。容斥原理。极端原理。集合的划分。覆盖。梅涅劳斯定理。托勒密定理。西姆松线的存在性及性质(西姆松定理)。赛瓦定理及其逆定理。国际ＩＭＯ：考试分两天进行，每天连续进行4.5小时，考3道题目。同一代表队的6名选手被分配到6个不同的考场，独立答题。答卷由本国领队评判，然后与组织者指定的协调员协商，如有分歧，再请主试委员会仲裁。每道题7分，满分为42分。【推荐】：高中数学竞赛参考书：一、《金版奥塞教程》浙江大学出版社分为高一分册，高二分册，高中综合分册主编前两本刘康宁，后一本左宗明。这个比较适合刚刚开始学习奥赛的同学，而且是才学完高中知识的，可以循序渐进从高一的开始，到高中综合；二、《冲刺全国高中数学联赛》主编王卫华吴伟朝浙江大学出版社；适合最后在考试前1-2个月用；三、《高中数学奥林匹克竞赛解题方法大全》山西教育出版社主编周沛耕王中峰；这个是给有一定基础的同学用的，即是学了一段时间的学生试用的；一边可以用第一种书，并且选择高考题中难度较大的熟悉高中题的解题手法，熟练基本技巧，可能效果较好。优秀网站：鹏博奥数、奥数之家（论坛）优秀杂志：《数理天地》、《数学教学》、《中等数学》【拓展阅读】：成都教育局将出台相关政策彻底封杀疯狂奥数2009年08月24日09:13北京青年报成都市将用一年的时间，分批分类，彻底整治“奥数难题”。据悉，这将是成都历史上“对奥数整治最严厉、最彻底”的一次。成都市教育局即将出台相关政策，彻底封杀“疯狂奥数”:教师校外兼职教奥数或私办奥数班将被严处甚至开除；民办学校小升初或初升高的“自主选拔试题”不得有奥数内容；公办学校以奥赛成绩选拔学生，校长最重可撤职；教师进修校、少年宫这些“半官方”培训机构停办奥数班。北京理工大学教授杨东平认为，奥数的泛滥成灾已经成为一种社会公害，不仅损害了青少年的休息健康，让家庭背上沉重的经济负担，而且是完全违反教育规律的。如杨乐等许多数学家所言，这种重在解难题、怪题，所谓的“数学杂技”和高强度的集中训练，与提高数学素养毫不相干；相反，只能扼杀和败坏儿童的学习兴趣。据了解，重庆市教委、重庆市招办2008年下半年联合下发《关于调整我市部分高考加分规定的通知》，从2009年起，高中五学科奥林匹克竞赛全国决赛一、二、三等奖获得者加分政策不变，而省赛区一等奖获得者调整为报考在渝高校加20分。从2011年起，省赛区一等奖获得者不再享受加分政策。【附录1】一般来说，数学竞赛第一试往往是一份高考卷的难度……2012年江苏省数学高考【附录2】来点刺激的，二试和加试都比较难：2012年全国高中数学联赛江苏赛区初赛2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1．已知数列{an}、{bn}满足an＝22n+35，bn＝log2(a1a2a3…an)，n∈N*，则数列{bn}的通项公式是．答案：bn＝，n∈N*简解：由an＝22n+35，得a1a2a3…an＝22(1＋2＋…＋n)＋3n5＝2n(n＋4)5，n∈N*．所以bn＝×＝，n∈N*．2．已知两点M(0，2)、N(－3，6)到直线l的距离分别为1和4，则满足条件的直线l的条数是．答案：3简解：易得MN＝5，以点M为圆心，半径1为的圆与以点N为圆心，半径为4的圆外切，故满足条件的直线l有3条．3．设函数f(x)＝ax2＋x．已知f(3)＜f(4)，且当n≥8，n∈N*时，f(n)＞f(n＋1)恒成立，则实数a的取值范围是．答案：(－17，－117)简解：(方法一)因为当n≥8时，f(n)＞f(n＋1)恒成立，所以a＜0，此时f(n)＞f(n＋1)恒成立等价于f(8)＞f(9)，即64a＋8＞81a＋9，解得a＜－117．因为f(3)＜f(4)，所以9a＋3＜16a＋4，解得a＞－17．即a∈(－17，－117)．(方法二)考察二次函数f(x)＝ax2＋x的对称轴和开口方向．因为当n≥8时，f(n)＞f(n＋1)恒成立，所以a＜0，且－12a＜172，解得a＜－117．因为f(3)＜f(4)，所以－12a＞72，解得a＞－17．即a∈(－17，－117)．4．已知ABCD－A1B1C1D1是边长为3的正方体，点P、Q、R分别是棱AB、AD、AA1上的点，AP＝AQ＝AR＝1，则四面体C1PQR的体积为．答案：简解：因为C1C⊥面ABCD，所以C1C⊥BD．又因为AC⊥BD，所以BD⊥面ACC1，所以AC1⊥BD．又PQ∥BD，所以AC1⊥PQ．同理AC1⊥QR．所以AC1⊥面PQR．因为AP＝AQ＝AR＝1，所以PQ＝QR＝RP＝．因为AC1＝3，且VA－PQR＝13·12·12·1＝16，所以VC1－PQR＝13·4·()2·3－VA－PQR＝．(第4题)CABDD1C1B1A1PQR5．数列na满足1112,1nnnaaaa，nN*．记Tn＝a1a2…an，则T2010等于．答案：－6简解：易得：a1＝2，a2＝－3，a3＝－12，a4＝13，a1a2a3a4＝1．又a5＝2＝a1，由归纳法易知an＋4＝an，n∈N*．所以T2010＝T2008×a2009×a2010＝a1a2＝－6．6．骰子是一个立方体，6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点.现有质地均匀的骰子10只.一次掷4只、3只骰子，分别得出各只骰子正面朝上的点数之和为6的概率的比为．答案：1：6.提示：掷3只骰子，掷出6点的情况为1，1，4；1，2，3；2，2，2.共3+3!+1=10种，概率为.掷4只骰子，掷出6点的情况为1，1，1，3；1，1，2，2.共4+=10种，概率为.所以概率的比为:=1:6.7．在△ABC中，已知BC＝5，AC＝4，cos(A－B)＝78，则cosC＝．答案：1116简解：因BCAC，故AB.如图，作AD，使∠BAD＝∠B，则∠DAC＝∠A－∠B．设AD＝BD＝x，则DC＝5－x．在△ADC中，由余弦定理得x＝3．再由余弦定理得cosC＝1116．8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2x的焦点为F.设M是抛物线上的动点，则的最大值为．答案：简解：设点M(x，y)，则()2＝x2＋y2(x＋12)2＝4x2＋8x4x2＋4x＋1＝1＋4x－14x2＋4x＋1．令4x－1＝t，当t≤0时，显然≤1．当t＞0时，则()2＝1＋4t＋6＋9t≤1＋＝，且当t＝3，即x＝1时，等号成立．310624C410631064106ABDC(第7题)所以的最大值为，此时点M的坐标为(1，±)．二、解答题（本题满分16分）如图，点P是半圆C：x2＋y2＝1(y≥0)上位于x轴上方的任意一点，A、B是直径的两个端点，以AB为一边作正方形ABCD，PC交AB于E，PD交AB于F，求证：BE，EF，FA成等比数列．证明：设P(cosα，sinα)，C(－1，－2)，D(1，－2)，E(x1，0)，F(x2，0)．因为点P、E、C三点共线，所以＝，所以x1＝－1．………………5分由点P、F、D三点共线，所以＝，所以x2＝＋1．………………10分所以BE＝x1＋1＝，EF＝x2－x1＝，FA＝．所以BE·FA＝×＝＝EF2．即BE，EF，FA成等比数列．………………16分三、解答题（本题满分20分）设实数a，m满足1a，023m，函数2221amxmxfxaaam，0,xa.若存在a，m，x，使32fx，求所有的实数x的值．解答：因为(0,)xa时，2222()244xmamaamxmxma，当且仅当2ax时等号成立，……………5分所以22222222342(1)(1)4(1(1))amamxmxamaaamaaamam3442amm，……………15分当且仅当2ax及1a与23m时等号成立.故1x.……………20分四、解答题（本题满分20分）数列{an}中，已知a1∈(1，2)，an＋1＝an3－3an2＋3an，n∈N*，求证：(a1－a2)(a3－1)＋(a2－a3)(a4－1)＋…＋(an－an＋1)(an＋2－1)＜．证明：(方法一)由an＋1＝an3－3an2＋3an，得an＋1－1＝(an－1)3．令bn＝an－1，则0＜b1＜1，bn＋1＝bn3＜bn，0＜bn＜1．………………5分所以(ak－ak＋1)(ak＋2－1)＝(bk－bk＋1)×bk＋2xOBAyCDEFP＝(bk－bk＋1)×bk＋13＜(bk－bk＋1)×(bk3＋bk2bk＋1＋bkbk＋12＋bk＋13)＜(bk4－bk＋14)．………………15分所以(a1－a2)(a3－1)＋(a2－a3)(a4－1)＋…＋(an－an＋1)(an＋2－1)＜(b14－b24)＋(b24－b34)＋…＋(bn4－bn＋14)＝(b14－bn＋14)＜b14＜．………………20分(方法二)由an＋1＝an3－3an2＋3an，得an＋1－1＝(an－1)3．令bn＝an－1，则0＜b1＜1，bn＋1＝bn3，0＜bn＜1．………………5分所以(a1－a2)(a3－1)＋(a2－a3)(a4－1)＋…＋(an－an＋1)(an＋2－1)＝(b1－b2)b3＋(b2－b3)b4＋…＋(bn－bn＋1)bn＋2＝(b1－b2)b23＋(b2－b3)b33＋…＋(bn－bn＋1)bn＋1313014xdx．………………20分2010