2014高二数学竞赛

2013-2014学年度第二学期高二数学竞赛试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知集合}4,3,2,1,0{A，集合},2|{AnnxxB，则BA（）A、}0{B、}4,0{C、}4,2{D、}4,2,0{2．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是()A．y＝2－3x2B．y＝lnxC．y＝1x－2D．y＝sinx3、已知两不共线向量a=（cos，sin），b=（cos，sin），则下列说法不正确是（）A、1baB、)(babaC、a与b的夹角为D、a在ba方向上的射影与b在ba方向上的射影相等4、已知是第二象限角，且53)sin(，则2tan的值为（）A、54B、724C、725D、9245、在等比数列na中，若4a，8a是方程0342xx的两根，则6a的值是（）A．3B．3C．3D．36、某班级有70名学生，其中有30名男生和40名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是（）A、这种抽样方法是一种分层抽样B、这种抽样方法是一种系统抽样C、这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D、该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数7、给定命题p：函数)42sin(xy和函数)432cos(xy的图象关于原点对称；命题q：当)(,2Zkkx时，函数)2cos2(sin2xxy取得极小值．下列说法正确的是（）A、qp是假命B、qp是假命题C、qp是真命题D、qp是真命题8、函数4xexf的部分图象大致是（）9、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A、1311B、2113C、813D、13810．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．19911、已知函数()yfx是定义在实数集R上的奇函数，且当(,0),()()0xfxxfx时成立（其中()()fxfx是的导函数），若)2(2fa，)3(log)3(log77fb，)81(log)81(log22fc，则a，b，c的大小关系是（）A、cabB、cbaC、abcD、acb12、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设DAB，）2，0（，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为1e，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为2e，则（）A、随着角度的增大，1e增大，21ee为定值B、随着角度的增大，1e减小，21ee为定值第9题图232C、随着角度的增大，1e增大，21ee也增大D、随着角度的增大，1e减小，21ee也减小二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13、若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为．14．下面使用类比推理，得出正确结论的是___3_____．①“若a·3＝b·3，则a＝b”类比出“若a·0＝b·0，则a＝b”；②“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“(a·b)c＝ac·bc”；③“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”；④“(ab)n＝anbn”类比出“(a＋b)n＝an＋bn”．15．曲线xxy2212在点23,1处切线的倾斜角为16、定义在R上的函数)(xf满足16)5()(xfxf，当]4,1(x时，xxxf2)(2，则函数)(xf在]2013,0[上的零点个数是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（12分）在ABC中，角,,ABC对的边分别为,,abc，且2,60cC（Ⅰ）求sinsinabAB的值；（Ⅱ）若abab，求ABC的面积ABCS18．已知函数cxbxaxxf23的极小值为-8，其导函数的图象过点0,32,0,2，如图所示（1）求xf的解析式(2)若对3,3x都有mmxf142恒成立，求实数的m取值范围。2013-2014学年度第二学期高二数学竞赛答题卡一、选择题题号123456789101112答案二、填空题13141516三、解答题：本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（12分）在ABC中，角,,ABC对的边分别为,,abc，且2,60cC（Ⅰ）求sinsinabAB的值；（Ⅱ）若abab，求ABC的面积ABCS23218．已知函数cxbxaxxf23的极小值为-8，其导函数的图象过点0,32,0,2，如图所示（1）求xf的解析式(2)若对3,3x都有mmxf142恒成立，求实数的m取值范围。19、（12分）如图几何体，正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直,ADABAF22,M为AF的中点,CEBN于N。（Ⅰ）求证:BDMCF平面//；（Ⅱ）求二面角NBDM的大小。20、（12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为4,且过点(23)P，．（Ⅰ）求椭圆C的方程;（Ⅱ）设0000(,)(0)Qxyxy为椭圆C上一点,过点Q作x轴的垂线,垂足为E．取点(0,22)A,连接AE,过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG,问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由。21、（12分）已知函数()1xafxxe（aR,e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线平行于x轴,求a的值;（Ⅱ）求函数()fx的极值;（Ⅲ）当1a的值时,若直线:1lykx与曲线()yfx没有公共点,求k的最大值．2013—2014学年度下学期高二数学竞赛1---5DCCBD6---10CBCDC11---12AB13、414、315、45度16、60418、解（1）2()32fxaxbxc(2)0f由题意可知2()03f(2)8f解得：a=－1，b=－2，c=4∴32()24fxxxx（2）由（1）可知2()344(2)(32)fxxxxx∴2(3,2)(,3)()3xfx单调递减2(2,)3x，()fx单调递增(2)8,(3)33ff∴[3,3],()(3)33mmxfxf若对[3,3]x都有2()14fxmm成立只需2()14mmfxmm成立即21433mm解得：3≤m≤11∴m的取值范围是[3，11]19、（I）证明：连结AC交BD于O,连结OM因为M为AF中点，O为AC中点,所以MOFC//,)0,1,1(C,)1,0,0(M,)0,1,0(B,)0,0,1(D,…（6分）因为C、N、E三点共线，可以设ECNC,则)2,1,1(N，得)2,0,1(NB，又因为CEBN51)52,1,54(N…（9分）设平面BDM的法向量为p=（x,y,z）,00BMpBDp)1,1,1(p…（10分）设平面BDN的法向量为q=（x,y,z）,00BNqBDq)2,1,1(q的夹角为与qp…（11分）0||||cosqpqp所以二面角NBDM的大小为90。…（12分）20、解:（1）因为椭圆过点(23)P，22231ab且222abc28a24b24c椭圆C的方程是22184xy…（4分）（2）ABCNF由题意,各点的坐标如上图所示,则QG的直线方程:0000808xxyyxx②当0a时,令0fx,得xea,lnxa．,lnxa,0fx;ln,xa,0fx．所以fx在,lna上单调递减,在ln,a上单调递增,故fx在lnxa处取得极小值,且极小值为lnlnfaa,无极大值．综上,当0a时,函数fx无极小值;②当1k时,方程（*）化为11xxek．令xgxxe,则有1xgxxe．令0gx,得1x,当x变化时,gx的变化情况如下表:x,111,gx0gx1e当1x时,min1gxe,同时当x趋于时,gx趋于,从而gx的取值范围为1,e．所以当11,1ke时,方程（*）无实数解,解得k的取值范围是1,1e．综上,得k的最大值为1．…（12分）