2013年河南数学竞赛预赛答案

OEBCAD第3题图6745123第2题图2013年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分）以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若有理数a、b满足(1)7()0aab，则ab等于【】（A）1（B）1（C）0（D）无法确定【答】A．解：因为a、b都是有理数，且(1)7()0aab，所以10a,且0ab，得1,1ab，所以1ab．2.如图，由7个小正方形组成的平面图形折叠（相邻的两个面垂直）成正方体后，重叠的两个面所标数字是【】（A）1和7（B）1和6（C）2和7（D）2和6【答】B．解：若将图中标有1的面去掉，则标有2、3、4、5、6、7的六个面恰好是正方体的一种展开图，其中标有3和6的面是对面；只看题图最下面一行，标有3和1的面应是对面，所以重叠的两个面是标有1和6的面，应选B．3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC交AC于点O，AE平分∠CAD交BD于点E，∠ABC=，∠ACB=，给出下列结论：①∠DAE=12；②ADAOCBCO；③∠AEB=1()2；④∠ACD=180()．其中一定正确的有【】（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个【答】B．解：（1）∵AD∥BC，∴∠DAE=111222DACACB，∴①正确；（2）∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴ADAOCBCO，∴②正确；（3）∠AEB=∠DAE+∠ADB=∠DAE+∠CBD=1()2，∴③正确；（4）∵∠BAC=180()，只有当AB∥DC时，∠ACD=180()才35PQ23410631111515B20104A111能成立．∴④不正确.综上，应选B.4．如图，直线l1、l2相交于点)2,3(A，l1、l2与x轴分别交于点(1,0)B和(2,0)C，则当012yy时，自变量x的取值范围是【】（A）2x（B）1x（C）13x（D）23x【答】C．解：由图象可知当12yy时，3x，当01y时，1x，所以当012yy时，13x.故应选C．5．关于x的不等式33axax的解集为3x，则a应满足【】（A）1a（B）1a（C）a≥1（D）a≤1【答】B．解：由33axax，得(1)(3)0ax，由不等式的解集为3x，知30x，所以10a，得1a．故应选B．6．如图的象棋盘中，“卒”从A点走到B点，最短路径共有【】（A）14条（B）15条（C）20条（D）35条【答】D．解：如右图，从点A出发，每次向上或向右走一步，到达每一点的最短路径条数如图中所标数字，如：到达点P、Q的最短路径条数分别为2和3.以此类推，到达点B的最短路径条数为35条.选D.二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7．计算：322．【答】212．解：原式=22211.228．如图是三个反比例函数xky1，xky2，xky3在x轴上方的图象，则1k、2k、3k的大小关系为．第6题图第8题图yxOy=k3xy=k2xy=k1x第4题图O第4题图OAAAyxl1l2CB111bxky222ykxb阿Ayxl1l2CB111bxky222ykxb【答】123kkk．解：由图象可知1k为负数，2k、3k为正数，不妨取x=1，代入解析式，显然点2(1,)Ak在点3(1,)Bk的正下方，所以320kk，又1k为负数，所以123kkk．9．有6个小球，其中黑色、红色、绿色各2个，它们除颜色外其它都一样，将它们放入一个不透明的袋子中，充分摇匀后，从中随机摸出2个球，摸出的球颜色一样的概率是．【答】15．解：摸出的2个球都是黑球的概率是2116515，所以摸出的球颜色一样的概率是113155.10．如图，点C是线段AB上一个动点，∠A=∠B=30°，∠ADC=∠BEC=90°，若AB=8cm，则CD+CE=cm．【答】4．解：在Rt△ADC中，∠A=30°，得ACDC21，同理BCEC21,所以4212121ABBCACECDC(cm)．11．关于x的方程2(1)20xmxm的两实数根之积等于272mm，则8m的值是．【答】4．解：由题意得2272mmm，解得120,8mm，当10m时，原方程无实数根，当28m时，原方程有两个不相等的实数根，所以8164m.12．计算：1111111111111145667134567034567145116670.【答】12013．解：令1111456670a，则原式=1671a13a113671a×a=211132013671aaa2113671aaa=12013.三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分）13．某单位职工参加市工会组织的健身操比赛进行列队，已知6人一列少2GFBHEDAC人，5人一列多2人，4人一列不多不少，请问这个单位参加健身操比赛的职工至少有几人？【答案】设这个单位参加健身操比赛的职工有y人，6人、5人、4人一列分别可以整排a、b、c列，则62524yabc．（a、b、c是正整数）∴6252,624.abac①②·················································4分由②，得62312(1).422aaaac因为c为正整数，可令12,am所以21,am（m是正整数）③将③代入①，得6(21)252.mb∴122102(1).55mmmb··················································7分因为b为正整数，可令15,mn所以51,mn（n是正整数）④将④代入③，得2(51)1101.ann···································11分∴626(101)2608.yann（n是正整数）.当n=1时，y有最小值52.即参加比赛列队的至少有52人.········14分14．如图，在边长为1的正方形ABCD的边AB上任取一点E（A、B两点除外），过E、B、C三点的圆与BD相交于点H，与正方形ABCD的外角平分线相交于点F，与CD相交于点G．（1）求证：四边形EFCH是正方形；（2）设BE=x，△CGH的面积是y，求y与x的函数解析式，并求y的最大值．【答案】（1）∵E、B、C、H、F在同一圆上，且∠EBC=90°，∴∠EHC=90°，∠EFC=90°．·················································2分又∠FBC=∠HBC=45°，∴CF=CH．······································4分∵∠HBF+∠HCF=180°，∴∠HCF=90°．·······························6分∴四边形EFCH是正方形．···················································8分（2）∵∠GHB+∠GCB=180°，∴∠GHB=90°，由（1）知∠CHE=90°，∴∠CHG+∠CHB=∠EHB+∠CHB．∴∠CHG=∠EHB．∴CG=BE=x，∴DG=1DCCGx．·······························12分∴△CGH中，CG边上是高为11(1).22DGx图③FEDBAC∴211111(1).224216yxxx····································15分当x=12时，y有最大值116．·················································16分15.数学活动课上，李老师出示了问题：已知，如图①，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，设BD=a，用含有a的式子表示AD的长.图①图②DBCFEDBCAA经过思考和探讨，小明展示了一种解题思路：如图②，作∠DAE=45°，AE和BC的延长线相交于点E，过点C作CF⊥AE于点F．通过证明△ABD≌△ACF，得到CF=a，进而推出CE=2a，所以AD=DE=CD+CE=2(12).aaa在此基础上，李老师又提出了如下问题：已知△ABC中，∠BAC=45°，AB＞AC，AD是BC边上的高，设BD=a，CD=b，求AD的长.请你画图并解答这个问题．【答案】（1）当∠ACB为直角时，△ABC为直角三角形，b=0，AD=AC=BD=a．·········································································2分（2）当∠ACB为锐角时，如图③，作∠DAE=45°，AE和BC的延长线相交于点E，过点C作CF⊥AE于点F．则△CEF和△ADE都是等腰直角三角形.设ADDEx，CFEFm.则2AEx.∴2AFxm.··4分∵∠FAC+∠CAD=45°，∠DAB+∠CAD=45°，∴∠FAC=∠DAB.又∵∠AFC=∠ADB=90°，∴△FAC∽△DAB.……………………6分∴.FAFCDADB即2.xmmxa解得2.axmxa∴2222axaxCEEFxaxa.·····················8分图④FEDBAC∵CECDDEAD,∴2axbxxa.···························10分整理得2()0xabxab.解得2216,2abababx22262abababx（舍去）.·······················································································12分（3）当∠ACB为钝角时，如图④，作∠DAE=45°，AE和BC的延长线相交于点E，过点C作CF⊥AE于点F．与（1）中的求法类似，可设ADDEx，CFEFm，则2AFxm.同（1）中的理由，得△FAC∽△DAB，2axCExa.∵ADDECECD,∴2axxbxa.·······························16分整理，得2()0xabxab，解得226.2abababx…17分综上，AD的长为a或2262ababab或2262ababab或2262ababab．······························································18分