2013年全国初中数学竞赛九年级预赛答案

2013年九年级试卷参考答案一、选择题（每小题5分，共30分）1—6CDBADC二、填空题（每小题5分，共30分）：7.62；8.A：516；B：12；9.4；10.12；11.26；12.)1,21()1,21(.三、解答题：（每题20分，共60分）13.证明：把已知代数式整理成关于x的二次三项式，得原式＝3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式，∴△＝0.即4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ca=0,(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2=0.要使等式成立，必须且只需：000accbba解这个方程组，得cba.14.解：（1）（6，4）；（2,3tt）.（其中写对B点得1分）…………………………………………3分（2）∵S△OMP=12×OM×23t，∴S=12×（6-t）×23t=213t+2t＝21(3)33t（0t6）．∴当3t时，S有最大值．……………………………………………………………8分（3）存在．由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），则直线ON的函数关系式为：43yx．设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：3byxb，解方程组433yxbyxb得3444bxbbyb∴直线ON与MT的交点R的坐标为34(,)44bbbb．∵S△OCN＝12×4×3＝6，∴S△ORT＝13S△OCN＝2．……………………………………………10分一、当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是△OR1T1，二、如图，作R1D1⊥y轴，D1为垂足，则S△OR1T1＝12••••RD1•OT＝12•34bb•b＝2.∴234160bb，b=22133.∴b1＝22133，b2＝22133（不合题意，舍去）此时点T1的坐标为（0，22133）.……………………………………………………………15分②当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是△R2NE，如图，设MT交CN于点E，∵点E的纵坐标为4，∴由①得点E的横坐标为312bb，作R2D2⊥CN交CN于点D2，则S△R2NE＝12•EN•D2=12•312(3)bb•4(4)4bb96(4)bb＝2.∴24480bb，b=41644821322.∴b1＝2132，b2＝2132（不合题意，舍去）．∴此时点T2的坐标为（0，2132）．综上所述，在y轴上存在点T1（0，22133），T2（0，2132）符合条件．………………20分15.证明：（1）∵)(2qbap∴bapq2代入抛物线qpxxy2中，得0)2(2axpbxy得0202axbxy解得：4422bayax，故抛物线qpxxy2通过定点)44,2(2baa……………………………………………10分（2）∵bapq22，∴)2(2224222bappqpqp=bapp422=baaapp42222=)4()(22baap∴0)()4()4(222apbaqp∴qp42与ba42中至少有一个非负.∴02baxx与02qpxx中至少有一个方程有实数根.……………………………20分OABCxy（备用图）NMPR2T1T2R1ED2D1