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2013年全国高考上海卷理科第13题解析【高考题 9】(2013年全国高考上海卷理科第13题)13．在xOy 平面上，将两个半圆弧 22 (1)1(1) xyx-+=³和 22 (3)1(3) xyx-+=³、两条直线 1 y=和 1 y=-围成的封闭图形记为 D，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为W，过(0,)(||1) yy£作W的水平截面，所得截面面积为 2 418 ypp-+，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出W的体积值为 __________ 【解析】如图，设长方体的长为 2p，宽为 4，高为 2，圆柱的底面半径为 1，长为 2p，过(0,)(||1) yy£分别作圆、长方体的水平截面，则在圆柱中弦 AB＝2 1-y 2 ,又 AD＝2p，所以截面面积为 4p 1-y 2 ，而长方体中的截面面积恒为 8p，故截面面为积总和为 4p 1-y 2 +8p.由祖暅原理知，几何体W的体积等于该长方体与圆柱的体积之和，而长方体的体积为16p，圆柱的体积为 2p 2 ,所以W的体积值为 16p+2p 2 . 【点评】姗姗来迟的上海试题确实与众不同。本考题着力考查考生对祖暅原理的理解能力，对考生创造性的思维能力提出了较高的要求。祖暅原理，又名等幂等积定理，祖暅之《缀术》有云：“缘幂势既同，则积不容异[2]。”意即：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。问题是如何构造截面面积总相等的几何体呢？考题中提供了两个信息：一是截面的面积；二是几何体的构件，“一个平放的圆柱和一个长方体”。首先由截面面积知，截面可能为两个截面的面积和，由信息二得到验证；其次，考虑几何体的相应尺度，由几何体W的高为 2，知长方体的高也为 2，圆柱的直径为 2（平放即为高）。对于平放的圆柱而言，过(0,)(||1) yy£作圆的水平截面，截面应为长方形，其一边为圆的一条弦AB， AB＝2 1-y 2 ，由此可以猜测截面应为 4p 1-y 2 ，故圆柱的长为 2p。进一步长方体的长也应为 2p，而截面面积应为 8p，故宽应为4.最后，由祖暅原理可以计算出几何体的体积。 A B C D2013年全国高考上海卷理科第14题解析【高考题 10】(2013年全国高考上海卷理科第14题)14．对区间 I 上有定义的函数 () gx ，记 (){|(),} gIyygxxI==Î，已知定义域为 [0,3] 的函数 () yfx=有反函数 1 () yfx-=，且 11 ([0,1))[1,2),((2,4])[0,1) ff--==，若方程 ()0 fxx-=有解 0 x ，则 0 _____ x=【解析】由 f-1 ([0,1))=[1,2),知 f([1,2))=[0,1),所以当 xÎ[1,2)时，f(x)-x=0 无解；同理由 f-1 ((2,4])=[0,1),知 f([0,1))=(2,4],所以当xÎ[0,1)时，f(x)-x=0 无解；综上当 xÎ[0,2)时，f(x)-x=0无解. 而 f(x)的定义域为[0,3],且方程 f(x)-x=0有解x0,所以 x0Î[2,3], 又 f-1 ([0,1))=[1,2),f-1 ((2,4])=[0,1),所以 f (x0)Ï[0,1)È(2,4], 若 x0Î(2,3],因为(2,3]Í (2,4],所以 f(x)-x=0 无解, 故 x0=2,此时 f(2)=2,符合题意. 【点评】这是一道新定义的创新题,通过互为反函数的两个函数定义域与值域的相互关系,着重考查考生的逻辑推理能力.首先是正向思维,由条件得到 xÎ[0,1)时,f(x)Î(2,4],xÎ[1,2) 时,f(x)Î[0,1),从而当 xÎ[0,2)时，f(x)-x=0 无解;其次是逆向思维,方程若有解,则解必在 [2,3]上;最后是辩证思维,若x0Î[2,3],f(x0)=x0,则 f(x0)Î[2,3],但 f-1 ((2,4])=[0,1)2,故仅有 x0=2,成立 f(2)=2.