2013年首届“学数学”数学奥林匹克邀请赛试题与参考解答 1

首届\学数学数学奥林匹克邀请赛试题卷2013年首届\学数学数学奥林匹克邀请赛第一试{9:20一.填空题(本题满分64分,每小题8分)1.已知函数f(x)=x2−2x;g(x)=8:x−2;x1;−x;x1:则不等式f(x)63g(x)的解集是.2.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S1,S3,S2成公比为q的等比数列,则q=.3.满足关系式(sin2x+cosx)(sinx−cosx)=cosx的锐角x=(用弧度表示).4.用4块腰长为a,上,下底边长分别为a,2a的等腰梯形硬纸片,和两块长和宽分别为2a和a的矩形硬纸片,可以围成一个六面体,则该六面体的体积为.5.已知⊙O的半径为1,四边形ABCD为其内接正方形,EF为⊙O的一条直径,M为正方形ABCD边界上一动点,则−−→ME·−−→MF的最小值为.6.过抛物线y=x2上一点A作法线(法线是过切点且与切线垂直的直线)与抛物线相交于另一点B,O为坐标原点.当△OAB面积的取最小值时,点A的纵坐标为.7.若n∈N,则limn!1sin2(√n2+n)=.8.甲乙两人各自独立地抛掷一枚均匀硬币,甲抛掷10次,乙抛掷11次.则乙的硬币出现正面向上的次数比甲多的概率是.第1页共2页首届\学数学数学奥林匹克邀请赛试题卷二.解答题(本题满分56分)9.(16分)设△ABC的顶点A,B为椭圆的两个焦点,点C在椭圆上,椭圆的离心率为e.求证:1+cosAcosBsinAsinB=1+e21−e2.10.(20分)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n−an(n∈N).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn=2n1an,求证:1b1+1b2+···+1bn53.11.(20分)设I是区间(0;+∞)上的一个子区间,f(x)是I上取值非负的函数.任取x1;x2∈I,若恒有f(√x1·x1)6¨f(x1)·f(x2),则称函数f(x)为I上的\几何凹函数;若恒有f(√x1·x1)¨f(x1)·f(x2),则称函数f(x)为I上的\几何凸函数.已知函数f(x)=13x−14x(x∈[1;+∞)).试判断f(x)为[1;+∞)上的几何凸函数还是几何凹函数,并给出证明.欢迎订阅学数学杂志《学数学》杂志是高中学生学习数学课程,参加高考,准备参加自主招生考试及角逐全国高中数学联赛等各级数学竞赛的得力助手.她是高中同学研究数学的工具,学好数学的宝典;她是高中数学教师教学的伴侣,竞赛辅导的参考资料.淘宝网店@omaths.com订阅邮箱[e-mail]杂志网址页