2014高三数学一模杨浦理

杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）2014.1.2考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.计算：133limnnn．2．若直线013xy的倾斜角是,则(结果用反三角函数值表示).3．若行列式124012x，则x.4．若全集UR，函数21xy的值域为集合A，则ACU.5．双曲线2221(0)yxbb的一条渐近线方程为3yx，则b________.6．若函数23xxf的反函数为xf1，则11f．7.若将边长为cm1的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积等于3cm.8.已知函数()lgfxx，若()1fab，则22()()fafb_________.9.已知函数1cossin)(2xxxf的最小正周期为，则_________．10.某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨．11.已知复数i2（i为虚数单位），复数25z，则一个以z为根的实系数一元二次方程是________.12．若21()nxx的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为．13．设a，b随机取自集合{1,2,3}，则直线30axby与圆221xy有公共点的概率是．14．已知函数()21(0)xfxaa，定义函数(),0,()(),0.fxxFxfxx给出下列命题：①()()Fxfx；②函数()Fx是奇函数；③当0a时，若0mn，0mn，总有()()0FmFn成立，其中所有正确命题的序号是.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15.若空间三条直线cba、、满足ba，cb//，则直线a与c………（）.)(A一定平行)(B一定相交)(C一定是异面直线)(D一定垂直16．“21x成立”是“01xx成立”的………（）.)(A充分非必要条件．)(B必要非充分条件．)(C充要条件．)(D既非充分又非必要条件．17.设锐角ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且1a，AB2,则b的取值范围为………（）.)(A3,2．)(B3,1．)(C2,2．)(D2,0．18．定义一种新运算：,(),()bababaab，已知函数24()(1)logfxxx，若函数()()gxfxk恰有两个零点，则k的取值范围为………（）.)(A1,2．)(B(1,2)．)(C(0,2)．)(D(0,1)．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知正方体1111DCBAABCD的棱长为a.（1）求异面直线BA1与CB1所成角的大小；（2）求四棱锥ABCDA1的体积.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．已知向量1,2xm，axan21,，其中0a.函数nmxg在区间3,2x上有最大值为4,设xxgxf.[来源:学+科+网Z+X+X+K](1)求实数a的值；(2)若不等式033xxkf在1,1x上恒成立，求实数k的取值范围.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC、BD是过抛物线焦点F的两条弦，且其焦点)1,0(F，0BDAC，点E为y轴上一点，记EFA，其中为锐角．求抛物线方程；如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求的大小？22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分10分，第①问5分,第②问5分，第（2）小题满分6分.已知椭圆：2214xy.(1)椭圆的短轴端点分别为BA,(如图)，直线BMAM,分别与椭圆交于FE,两点，其中点21,mM满足0m，且3m.①证明直线FE与y轴交点的位置与m无关；②若∆BME面积是∆AMF面积的5倍，求m的值；(2)若圆:422yx.21,ll是过点)1,0(P的两条互相垂直的直线,其中1l交圆于T、R两点,2l交椭圆于另一点Q.求TRQ面积取最大值时直线1l的方程.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分13分，第①问5分,第②问8分.设nS是数列na的前n项和，对任意*Nn都有paabknSnn12成立，(其中k、b、p是常数)．（1）当0k，3b，4p时，求nS；（2）当1k，0b，0p时，①若33a，915a，求数列{}na的通项公式；②设数列na中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“数列”.如果212aa，试问：是否存在数列na为“数列”，使得对任意*Nn，都有0nS，且12311111111218nSSSS．若存在，求数列na的首项1a的所有取值构成的集合；若不存在，说明理由．[来源:学科网ZXXK]杨浦区2013学年度第一学期高三模拟测试2014.1.2一．填空题（本大题满分56分）1.1；2.3arctan；3.2；4.0,；5.3；6.1；7.；8.2；9.理1；10.30；11.01062xx；12.理15；13.理95，14.理②、③，二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题15.D；16.B；17.A；18.理B；三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题19.【解】（1）因为DACB11//，直线BA1与DA1所成的角就是异面直线BA1与CB1所成角.……2分又BDA1为等边三角形，异面直线BA1与CB1所成角的大小为60.……6分（2）四棱锥ABCDA1的体积V323131aaa……12分.20.【解】（1）由题得axaaxaxnmxg1)1(2122……4分又0a开口向上，对称轴为1x，在区间3,2x单调递增，最大值为4,43maxgxg所以，1a……7分（2）由（1）的他，21)(xxxxgxf……8分令xt3,则3,31t以033xxkf可化为kttf)(,即ttfk)(恒成立,……9分2)11()(tttf且3,311t,当11t,即1t时ttf)(最小值为0,……13分0k……14分21.【解】理科（1）由抛物线焦点)1,0(F得,抛物线方程为yx42……5分（2）设mAF，则点)1cos,sin(mmA……6分所以，)cos1(4)sin(2mm，既04cos4sin22mm……7分解得2sin)1(cos2AF……8分同理：2cos)sin1(2BF……9分2cos)sin1(2DF……10分2sin)cos1(2CF……11分“蝴蝶形图案”的面积2)cos(sincossin442121DFCFBFAFSSSCFDAFB令21,0,cossintt,,21t……12分则121141422tttS,21t时,即4“蝴蝶形图案”的面积为8……14分22.【解】理科解：（1）①因为)1,0(),1,0(BA,M(m,12)，且0m，直线AM的斜率为k1=m21,直线BM斜率为k2=m23,直线AM的方程为y=121xm,直线BM的方程为y=123xm,……2分由,121,1422xmyyx得22140mxmx，240,,1mxxm22241,,11mmEmm由,123,1422xmyyx得229120mxmx，2120,,9mxxm222129,99mmFmm；……4分据已知，20,3mm，直线EF的斜率22222222219(3)(3)194124(3)19mmmmmmkmmmmmm23,4mm直线EF的方程为2222134141mmmyxmmm,令x=0,得,2yEF与y轴交点的位置与m无关.……5分②1||||sin2AMFSMAMFAMF,1||||sin2BMESMBMEBME,AMFBME,5AMFBMESS,5||||||||MAMFMBME，5||||||||MAMBMEMF,……7分225,41219mmmmmmmm0m，整理方程得22115119mm，即22(3)(1)0mm，又有3m，230m，12m，1m为所求.……10分[来源:学科网ZXXK](2)因为直线12ll,且都过点(0,1)P,所以设直线1:110lykxkxy,直线21:10lyxxkykk,……12分所以圆心(0,0)到直线1:110lykxkxy的距离为211dk,所以直线1l被圆224xy所截的弦222143242kkdTR；由22222048014xkykkxxkxxy,所以482kkxxPQ所以418)4(64)11(222222kkkkkQP……14分所以13131613232341334324348212222kkkkTRQPSTRQ当22213510432243kkkk时等号成立,此时直线110:12lyx……16分23【解】（理科）解：（1）当0k，3b，4p时，由paabknSnn12得nnSaa24)(31①用1n去代n得，11124)(3nnSaa，②②—①得，113()2nnnaaa，13nnaa，……2分在①中令1n得，11a，则na0，∴13nnaa，∴数列{}na是以首项为1，公比为3的等比数列，∴nS=312n…….5分[来源:学科网]（2）当1k，0b，0p时，112()2()nnnaaaaa，③用1n去代n得，11121(1)()2()nnnnaaaaaa，④④—③得，11(1)0nnnanaa，⑤…….7分用1n去代n得，211(1)0nnnanaa，⑥⑥—⑤得，2120nnnnanana，即211nnnnaaaa，…….8分∴数列{}na是等差数列.∵33a，915a，∴公差93293aad，∴23nan……10分易知数列{}na是等差数列，∵212aa，∴12(1)naan.又na是“数列”，得：对任意*,Nmn，必存在*Np使1112(1)2(1)2(1)anamap，得12(1)apmn，故1a是偶数，…….12分又由已知，111111218S