2014高中数学联赛模拟试题

2014高中数学联赛模拟试题一试一、选择题（本大题36分，每小题6分）1．在复平面上，非零复数ｚ１，ｚ２在以i对应的点为圆心，1为半径的圆上，ｚ１·ｚ２的实部为零，argｚ１＝π／6，则ｚ２＝（）．Ａ．－／2＋（3／2）iＢ．／2－（3／2）ｉＣ．－3／2＋（／2）ｉＤ．3／2－（／2）ｉ2．已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａ（ａｘ２－ｘ＋1／2）在［1，2］上恒正，则实数ａ的取值范围是（）．Ａ．（1／2，5／8）Ｂ．（3／2，＋∞）Ｃ．（（1／2，（5／8）∪（（3／2，＋∞）Ｄ．（1／2，＋∞）3．已知双曲线过点Ｍ（－2，4）、Ｎ（4，4），它的一个焦点为Ｆ１（1，0），则另一个焦点Ｆ２的轨迹方程是（）．Ａ．（ｘ－1）２／25＋（ｙ－4）２／16＝1（ｙ≠0）或ｘ＝1（ｙ≠0）Ｂ．（ｘ－1）２／16＋（ｙ－4）２／25＝1（ｘ≠0）或ｘ＝1（ｙ≠0）Ｃ．（ｘ－4）２／25＋（ｙ－1）２／16＝1（ｙ≠0）或ｙ＝1（ｘ≠0）Ｄ．（ｘ－4）２／16＋（ｙ－1）２／25＝1（ｘ≠0）或ｙ＝1（ｘ≠0）4．已知正实数ａ、ｂ满足ａ＋ｂ＝1，则Ｍ＝的整数部分是（）．Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．45．一条笔直的大街宽是40米，一条人行道穿过这条大街，并与大街成某一角度，人行道的宽度是15米，长度是50米，则人行道间的距离是（）．Ａ．9米Ｂ．10米Ｃ．12米Ｄ．15米6．一条铁路原有ｍ个车站，为适应客运需要新增加ｎ个车站（ｎ＞1），则客运车票增加了58种（注：从甲站到乙站和从乙站到甲站需要两种不同的车票），那么原有车站的个数是（）．Ａ．12Ｂ．13Ｃ．14Ｄ．15二、填空题（本大题54分，每小题9分）1．长方形ＡＢＣＤ的长ＡＢ是宽ＢＣ的2倍，把它折成无底的正三棱柱，使ＡＤ与ＢＣ重合，折痕线ＥＦ、ＧH分别交原对角线ＡＣ于Ｍ、Ｎ，则折后截面ＡＭＮ与底面ＡＦH所成的角是_________．2．在△ＡＢＣ中，ａ、ｂ、ｃ是角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边，且满足ａ２＋ｂ２＝2ｃ２，则角Ｃ的最大值是_________．3．从盛满ａ升（ａ＞1）纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去．则第ｎ次操作后溶液的浓度是_________．4．已知函数ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）的定义域均为非负实数集，对任意的ｘ≥0，规定ｆ（ｘ）＊ｇ（ｘ）＝ｍｉｎ｛ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）｝．若ｆ（ｘ）＝3－ｘ，ｇ（ｘ）＝，则ｆ（ｘ）＊ｇ（ｘ）的最大值为_________．5．从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有_________种不同的取法．6．若实数ａ＞0，则满足ａ5－ａ3＋ａ＝2的ａ值属于区间：①（0，）；②（，）；③（，＋∞）；④（0，）．其中正确的是_________．三、（本大题20分）求证：经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体一个侧面的面积．四、（本大题20分）直线Ａｘ＋Ｂｘ＋Ｃ＝0（Ａ·Ｂ·Ｃ≠0）与椭圆ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２相交于P和Q两点，O为坐标原点，且OP⊥ＯＱ，求证：ａ２ｂ２／ｃ２＝（ａ２＋ｂ２）／（Ａ２＋Ｂ２）．五、（本大题20分）某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场日营业额（指每日卖出商品所收到的总金额）为60万元，根据经验，各部商品每1万元营业额所需售货员人数如表1，每1万元营业额所得利润情况如表2．商场将计划日营业额分配给三个经营部，同时适当安排各部的营业员人数，若商场预计每日的总利润为ｃ（万元）且满足19≤ｃ≤19．7，又已知商场分配给经营部的日营业额均为正整数万元，问这个商场怎样分配日营业额给三个部?各部分别安排多少名售货员?表1各部每1万元营业额所需人数表部门人数百货部5服装部4家电部2表2各部每1万元营业额所得利润表部门利润百货部0．3万元服装部0．5万元家电部0．2万元加试一、（本大题50分）矩形ＡＢＣＤ的边ＡＤ＝λ·ＡＢ，以ＡＢ为直径在矩形之外作半圆，在半圆上任取不同于Ａ、Ｂ的一点P，连PＣ，ＰＤ交ＡＢ于Ｅ、Ｆ，若ＡＥ２＋ＢＦ２＝ＡＢ２，试求正实数λ的值．二、（本大题50分）若ａｉ∈Ｒ＋（ｉ＝1，2，…，ｎ），Ｓ＝，且2≤ｎ∈Ｎ，求证：三、（本大题50分）无穷数列｛ｃｎ｝可由如下法则定义：ｃｎ＋1＝│1－│1－2ｃｎ││，而0≤ｃ１≤1．（1）证明：仅当ｃ１是有理数时，数列自某一项开始成为周期数列．（2）存在多少个不同的ｃ１值，使得数列自某项之后以T为周期（对于每个Ｔ＝2，3，…）？