2014年高考北京市数学（文）卷（有答案）

2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学本试卷共6页，150分。考试时长120分钟，。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。1.若集合0,1,2,4A，1,2,3B，则AB（）A.0,1,2,3,4B.0,4C.1,2D.32.下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A.xyeB.yxC.lnyxD.yx3.已知向量2,4a，1,1b，则2ab（）A.5,7B.5,9C.3,7D.3,94.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A.1B.3C.7D.15开始输出结束是否5.设a、b是实数，则“ab”是“22ab”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分学科网不必要条件6.已知函数26logfxxx，在下列区间中，包含fx零点的区间是（）A.0,1B.1,2C.2,4D.4,7.已知圆22:341Cxy和两点,0Am，,00Bmm，若圆C上存在点P，使得90APB，则m的最大值为（）A.7B.6C.5D.48.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）学科网满足的函数关系2patbtc（a、b、c是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟O5430.80.70.5tp第2部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9.若12xiiixR，则x.10.设双曲线C的两个焦点为2,0，2,0，一个顶点式1,0，则C的方程为.11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.俯视图侧（左）视图正（主）视图1112212.在ABC中，1a，2b，1cos4C，则c；sinA.13.若x、y满足11010yxyxy，则3zxy的最小值为.14.顾客请一位工艺师把A、B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，学科网再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间原料粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为工作日.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.（本小题满分13分）已知na是等差数列，满足13a，412a，数列nb满足14b，420b，且nnba是等比数列.（1）求数列na和nb的通项公式；（2）求数列nb的前n项和.16.（本小题满分13分）函数3sin26fxx的部分图象如图所示.（1）写出fx的最小正周期及图中0x、0y的值；（2）求fx在区间,212上的最大值和最小值.Oyxy0x017.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABCABC中，侧棱垂直于底面，ABBC，12AAAC，E、F分别为11AC、BC的中点.（1）求证：平面ABE平面11BBCC；（2）求证：1//CF平面ABE；（3）求三棱锥EABC的体积.C1B1A1FECBA18.（本小题满分13分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a，b的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）19.（本小题满分14分）已知椭圆C：2224xy.（1）求椭圆C的离心率；（2）设O为原点，若点A在直线2y，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值.20.（本小题满分13分）已知函数3()23fxxx.（1）求()fx在区间[2,1]上的最大值；（2）若过点(1,)Pt存在3条直线与曲线()yfx相切，求t的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)ABC分别存在几条直线与曲线()yfx相切？（只需写出结论）数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（1）C（2）B（3）A（4）C（5）D（6）C（7）B（8）B二、填空题（9）2（10）221xy（11）22（12）2,158（13）1（14）42三、解答题（15）解：（I）设等差数列na的公差为d，由题意得：41123333aad，所以1(1)3(1,2,)naandnnL，设等比数列nnba的公比为q，由题意得：344112012843baqba，解得2q.所以1111()2nnnnbabaq，从而132(1,2,)nnbnnL.（II）由（1）知，132(1,2,)nnbnnL，数列3n的前n项和为3(1)2nn，数列12n的前n项和为1212112nn，所以数列nb的前n项和为3(1)212nnn.（16）解：（I）fx的最小正周期为，076x，03y.（II）因为[,]212x，所以52[,0]66x，于是当206x，即12x时，fx取得最大值0；当262x，即3x时，fx取得最小值3.（17）解：（I）在三棱柱111ABCABC中，1BB底面ABC，所以1BBAB，又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面11BBCC，所以平面ABE平面11BBCC.（II）取AB中点G，连结EG，FG，因为E，F分别是11AC、BC的中点，所以FG∥AC，且FG=12AC，因为AC∥11AC，且AC=11AC，所以FG∥1EC，且FG=1EC，所以四边形1FGEC为平行四边形，所以1//CFEG，又因为EG平面ABE，1CF平面ABE，所以1//CF平面ABE.（III）因为1AA=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=223ACBC，所以三棱锥EABC的体积为：113ABCVSAA=1131232=33.（18）解：（I）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6=2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100.从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.（II）课外阅读时间落在组[4,6)的有17人，频率为0.17，所以0.170.0852a频率组距，课外阅读时间落在组[8,10)的有25人，频率为0.25，所以0.250.1252b频率组距.（III）估计样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.（19）解：（I）由题意，椭圆C的标准方程为22142xy，所以224,2ab，从而2222cab，因此2,2ac，故椭圆C的离心率22cea.（II）设点A，B的坐标分别为00(,2),(,)txy，其中00x，因为OAOB，所以0OAOBuuruuur，即0020txy，解得002ytx，又220024xy，所以22200||()(2)ABxty=2200002()(2)yxyx=2220002044yxyx=2220002042(4)42xxxx=22002084(04)2xxx，因为22002084(04)2xxx，且当204x时间等号成立，所以2||8AB，故线段AB长度的最小值为22.（20）解：（I）由3()23fxxx得2'()63fxx，令'()0fx，得22x或22x，因为(2)10f，2()22f，2()22f，(1)1f，所以()fx在区间[2,1]上的最大值为2()22f.（II）设过点P（1，t）的直线与曲线()yfx相切于点00(,)xy，则300023yxx，且切线斜率为2063kx，所以切线方程为2000(63)()yyxxx，因此2000(63)(1)tyxx，整理得：32004630xxt，设()gx32463xxt，则“过点(1,)Pt存在3条直线与曲线()yfx相切”等价于“()gx有3个不同零点”，'()gx21212xx=12(1)xx，()gx与'()gx的情况如下：x(,0)0(0,1)1(1,)'()gx+00+()gxt+31t所以，(0)3gt是()gx的极大值，(1)1gt是()gx的极小值，当(0)30gt，即3t时，此时()gx在区间(,1]和(1,)上分别至多有1个零点，所以()gx至多有2个零点，当(1)10gt，1t时，此时()gx在区间(,0)和[0,)上分别至多有1个零点，所以()gx至多有2个零点.当(0)0g且(1)0g，即31t时，因为(1)70gt，(2)110gt，所以()gx分别为区间[1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1个零点，由于()gx在区间(,0)和(1,)上单调，所以()gx分别在区间(,0)和[1,)上恰有1个零点.综上可知，当过点(1,)Pt存在3条直线与曲线()yfx相切时，t的取值范围是(3,1).（III）过点A（-1，2）存在3条直线与曲线()yfx相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线()yfx相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线()yfx相切.