2014年高考福建省数学（理）卷（有答案）

2014年福建高考数学试题（理）第Ｉ卷（选择题共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(32)zii的共轭复数z等于（）.23Ai.23Bi.23Ci.23Di2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）.A圆柱.B圆锥.C四面体.D三棱柱3.等差数列{}na的前n项和nS，若132,12aS，则6a().8A.10B.12C.14D4.若函数log(0,1)ayxaa且的图像如右图所示，则下列函数图象正确的是学科网（）5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S得值等于（）.18A.20B.21C.40D6.直线:1lykx与圆22:1Oxy相交于,AB两点，则1k是“ABC的面积为12”的（）.A充分而不必要条件.B必要而不充分条件.C充分必要条件.D既不充分又不必要条件7.已知函数0,cos0,12xxxxxf则下列结论正确的是（）A.xf是偶函数B.xf是增函数C.xf是周期函数D.xf的值域为,18.在下列向量组中，可以把向量2,3a表示出来的是（）A.)2,1(),0,0(21eeB.)2,5(),2,1(21eeC.)10,6(),5,3(21eeD.)3,2(),3,2(21ee9.设QP,分别为2622yx和椭圆11022yx上的点，则QP,两点间的最大距离是（）A.25B.246C.27D.2610.学科网用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由ba11的展开式abba1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和篮球都取出来。.依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A.555432111cbaaaaaB.554325111cbbbbbaC.554325111cbbbbbaD.543255111cccccba第II卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。11、若变量yx,满足约束条件008201xyxyx则yxz3的最小值为________12、在ABC中，60,4,23AACBC,则ABC的面积等于_________13、要制作一个容器为43m，高为m1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）14.如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.15.若集合},4,3,2,1{},,,{dcba且下列四个关系：①1a；②1b；③2c；④4d有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(dcba的个数是_________.三．解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.（本小题满分13分）已知函数1()cos(sincos)2fxxxx.（1）若02，且2sin2，求()f的值；（2）求函数()fx的最小正周期及单调递增区间.17.（本小题满分12分）在平行四边形ABCD中，1ABBDCD，,ABBDCDBD.将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图.（1）求证：ABCD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60元的概率②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.19.（本小题满分13分）已知双曲线)0,0(1:2222babyaxE的两条渐近线分别为xylxyl2:,2:21.（1）学科网求双曲线E的离心率；（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线21,ll于BA,两点（BA,分别在第一，四象限），且OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由。20.（本小题满分14分）已知函数axexfx（a为常数）的图像与y轴交于点A，曲线xfy在点A处的切线斜率为-1.（I）求a的值及函数xf的极值；（II）证明：当0x时，xex2；（III）证明：对任意给定的正数c，总存在0x，使得当，0xx，恒有xcex2.21.本题设有（1），（2），（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A的逆矩阵21121A.（I）求矩阵A；（II）求矩阵1A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为tytax42，（t为参数），圆C的参数方程为sin4cos4yx，（为参数）.（I）求直线l和圆C的普通方程；（II）学科网若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知定义在R上的函数21xxxf的最小值为a.（I）求a的值；（II）若rqp，，为正实数，且arqp，求证：3222rqp.2014年福建高考数学试题（理）答案一.选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题5分，共50分.1-10CACBBADBDA二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，共20分。11.112.2313.16014.22e15.6三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16、本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和与差的三角函数及三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分13分.解法一：(1)因为0,22sin,2所以2cos2.所以22211()()22222f(2)因为2111cos21112()sincoscossin2sin2cos2sin(2)22222224xfxxxxxxxx,所以22T.由222,,242kxkkZ得3,88kxkkZ.所以()fx的单调递增区间为3[,],88kkkZ.解法二：2111cos21112()sincoscossin2sin2cos2sin(2)22222224xfxxxxxxxx（1）因为0,22sin,2所以4从而2231()sin(2)sin24242f（2）22T由222,,242kxkkZ得3,88kxkkZ.所以()fx的单调递增区间为3[,],88kkkZ.17.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想。满分13分。解：(1)因为ABD平面BCD,平面ABD平面,BCDBDAB平面,,ABDABBD所以AB平面.BCD又CD平面,BCD所以ABCD.(2)过点B在平面BCD内作BEBD,如图.由(1)知AB平面,BCDBE平面,BCDBD平面,BCD所以,ABBEABBD.以B为坐标原点,分别以,,BEBDBA的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意,得11(0,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,,)22BCDAM.则11(1,1,0),(0,,),(0,1,1)22BCBMAD.设平面MBC的法向量000(,,)nxyz.则00nBCnBM即00000102xyyz.取01,z得平面MBC的一个法向量(1,1,1)n.设直线AD与平面MBC所成角为,则6sincos,,3nADnADnAD即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为63.18.本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想。满分13分。解：(1)设顾客所获的奖励为X.①依题意,得1113241(60)2CCPXC.即顾客所获得的奖励额为60元的概率为12.②依题意,得X的所有可能取值为20,60.232411(60),(20)22CPXPXC.即X的分布列为X2060P0.50.5所以顾客所获得的奖励额的期望为()200.5600.540EX（元）.(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.所以先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以数学期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励为1X,则1X的分布列为1X2060100P1623161X的期望为1121()206010060636EX,1X的方差为22211211600()(2060)(6060)(10060)6363DX.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励为2X,则2X的分布列为2X406080P1623162X的期望为2121()40608060636EX,2X的方差为2222121400()(4060)(6060)(8060)6363DX.由于两种方案的奖励额都符合要求,但方案2奖励的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.19.本小题主要考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类与整合思想、函数与方程思想。满分13分。解法一：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和2,2yxyx.所以222,2,5bcacaaa,从而双曲线E的离心率5e.(2)由(1)知,双曲线