2014年高考江苏省数学卷（有答案）

2014年江苏高考数学试题数学Ⅰ试题参考公式:圆柱的侧面积公式:S圆柱=cl,其中c是圆柱底面的周长，l为母线长.圆柱的体积公式:V圆柱=Sh,其中S是圆柱的底面积，h为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．.1．已知集合{2134}A，，，，{123}B，，，则AB．【答案】{13}，2．已知复数2(52)zi(i为虚数单位)，则z的实部为．【答案】213．右图是一个算法流程图，则输出的n的值是．【答案】54．从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是．【答案】135．已知函数cosyx与sin(2)(0)yx≤，它们的图象有一个横坐标为3的交点，则的值是．【答案】66．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm．【答案】247．在各项均为正数的等比数列{}na中，若21a，8642aaa，则6a的值是．【答案】48．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12SS，，体积分别为12VV，，若它们的侧面积相等，且1294SS，则12VV的值是．【答案】329．在平面直角坐标系xOy中，直线230xy被圆22(2)(1)4xy截得的弦长为．【答案】255510．已知函数2()1fxxmx，若对任意[1]xmm，，都有()0fx成立，则实数m的取值范围是．【答案】202，11．在平面直角坐标系xOy中，若曲线2byaxx(ab，为常数)过点(25)P，，且该曲线在点P处的切线与直线7230xy平行，则ab的值是．【答案】312．如图，在平行四边形ABCD中，已知，85ABAD，，32CPPDAPBP，，则ABAD的值是．【答案】2213．已知()fx是定义在R上且周期为3的函数，当[03)x，时，21()22fxxx．若函数()yfxa在区间[34]，上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是．【答案】102，14．若ABC的内角满足sin2sin2sinABC，则cosC的最小值是．【答案】624二、解答题：本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(本小题满分14分)已知2，，5sin5．（1）求sin4的值；（2）求cos26的值．【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能力.满分14分.（1）∵5sin25，，，∴225cos1sin5210sinsincoscossin(cossin)444210；（2）∵2243sin22sincoscos2cossin55，∴3314334cos2coscos2sinsin2666252510．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC中，DEF，，分别为棱PCACAB，，的中点．已知6PAACPA，，8BC，5DF．（1）求证：直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.（1）∵DE，为PCAC，中点∴DE∥PA∵PA平面DEF，DE平面DEF∴PA∥平面DEF（2）∵DE，为PCAC，中点∴132DEPA∵EF，为ACAB，中点∴142EFBC∴222DEEFDF∴90DEF°，∴DE⊥EF∵//DEPAPAAC，，∴DEAC∵ACEFE∴DE⊥平面ABC∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．17．(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，12FF，分别是椭圆22221(0)yxabab的左、右焦点，顶点B的坐标为(0)b，，连结2BF并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结1FC．（1）若点C的坐标为4133，，且22BF，求椭圆的方程；（2）若1FCAB，求椭圆离心率e的值．【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.（1）∵4133C，，∴22161999ab∵22222BFbca，∴22(2)2a，∴21b∴椭圆方程为2212xy（2）设焦点12(0)(0)()FcFcCxy，，，，，∵AC，关于x轴对称，∴()Axy，∵2BFA，，三点共线，∴bybcx，即0bxcybc①∵1FCAB，∴1ybxcc，即20xcbyc②①②联立方程组，解得2222222caxbcbcybc∴2222222acbcCbcbc，∵C在椭圆上，∴222222222221acbcbcbcab，化简得225ca，∴55ca,故离心率为5518．(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，4tan3BCO．（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16分.解法一：(1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.由条件知A(0,60)，C(170,0)，直线BC的斜率kBC=－tan∠BCO=－43.又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率kAB=34.设点B的坐标为(a,b)，则kBC=04,1703bakAB=603,04ba解得a=80，b=120.所以BC=22(17080)(0120)150.因此新桥BC的长是150m.(2)设保护区的边界圆M的半径为rm,OM=dm,(0≤d≤60).由条件知，直线BC的方程为4(170)3yx，即436800xy由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即|3680|680355ddr.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,所以80(60)80rdrd≥≥即68038056803(60)805dddd≥≥解得1035d≤≤故当d=10时,68035dr最大，即圆面积最大.所以当OM=10m时，圆形保护区的面积最大.解法二:(1)如图，延长OA,CB交于点F.因为tan∠BCO=43.所以sin∠FCO=45，cos∠FCO=35.因为OA=60,OC=170，所以OF=OCtan∠FCO=6803.CF=850cos3OCFCO,从而5003AFOFOA.因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO==45，又因为AB⊥BC，所以BF=AFcos∠AFB==4003，从而BC=CF－BF=150.因此新桥BC的长是150m.(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD=rm，OM=dm(0≤d≤60).因为OA⊥OC，所以sin∠CFO=cos∠FCO，故由(1)知，sin∠CFO=3,68053MDMDrMFOFOMd所以68035dr.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,所以80(60)80rdrd≥≥即68038056803(60)805dddd≥≥解得1035d≤≤故当d=10时,68035dr最大，即圆面积最大.所以当OM=10m时，圆形保护区的面积最大.19．(本小题满分16分)已知函数()eexxfx其中e是自然对数的底数．（1）证明：()fx是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式()e1xmfxm≤在(0)，上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在0[1)x，，使得3000()(3)fxaxx成立．试比较1ea与e1a的大小，并证明你的结论．【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力.满分16分.（1）xR，()ee()xxfxfx，∴()fx是R上的偶函数（2）由题意，(ee)e1xxxmm≤，即(ee1)e1xxxm≤∵(0)x，，∴ee10xx，即e1ee1xxxm≤对(0)x，恒成立令e(1)xtt，则211tmtt≤对任意(1)t，恒成立∵2211111(1)(1)113111tttttttt≥，当且仅当2t时等号成立∴13m≤（3）'()eexxfx，当1x时'()0fx，∴()fx在(1)，上单调增令3()(3)hxaxx，'()3(1)hxaxx∵01ax，，∴'()0hx，即()hx在(1)x，上单调减∵存在0[1)x，，使得3000()(3)fxaxx，∴1(1)e2efa，即11e2ea∵e-1e111lnlnlne(e1)ln1eaaaaaa设()(e1)ln1maaa，则e1e111'()1e2eamaaaa，当11ee12ea时，'()0ma，()ma单调增；当e1a时，'()0ma，()ma单调减因此()ma至多有两个零点，而(1)(e)0mm∴当ea时，()0ma，e11eaa；当11ee2ea时，()0ma，e11eaa；当ea时，()0ma，e11eaa．20．(本小题满分16分)设数列{}na的前n项和为nS．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得nmSa，则称{}na是“H数列”．（1）若数列{}na的前n项和2()nnSnN，证明：{}na是“H数列”；（2）设{}na是等差数列，其首项11a，公差0d．若{}na是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{}na，总存在两个“H数列”{}nb和{}nc，使得()nnnabcnN成立．【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力,满分16分.（1）当2n≥时，111222nnnnnnaSS当1n时，112aS∴1n时，11Sa，当2n≥时，1nnSa∴{}na是“H数列”（2）1(1)(1)22nnnnnSnadnd对nN，mN使nmSa，即(1)1(1)2nnndmd取2n得1(1)dmd，12md∵0d，∴2m，又mN，∴1m，∴1d（3）设{}na的公差为d令111(1)(2)nbanana，对nN，11nnbba1(1)()ncnad，对nN，11nnccad则1(1)nnnbcanda，且{}{}nnbc，为等差数列{}nb的前n项和11(1)()2nnnTnaa，令1(2)nT