2014年高考全国新课标1数学（理）卷（有答案）

2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1.已知集合A={x|2230xx}，B={x|－2≤x＜2＝，则AB=A.[-2,-1]B.[-1,2）C.[-1,1]D.[1,2）2.32(1)(1)ii=A.1iB.1iC.1iD.1i3.设函数()fx，()gx的定义域都为R，且()fx时奇函数，()gx是偶函数，则下列结论正确的是A.()fx()gx是偶函数B.|()fx|()gx是奇函数C.()fx|()gx|是奇函数D.|()fx()gx|是奇函数4.已知F是双曲线C：223(0)xmymm的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为学科网A.3B.3C.3mD.3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A.18B.38C.58D.786.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数()fx，则y=()fx在[0,]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的,,abk分别为1,2,3，则输出的M=A.203B.165C.72D.1588.设(0,)2，(0,)2，且1sintancos，则A.32B.22C.32D.229.不等式组124xyxy的解集记为D.有下面四个命题：1p：(,),22xyDxy，2p：(,),22xyDxy,3P：(,),23xyDxy，4p：(,),21xyDxy.其中真命题是A.2p，3PB.1p，4pC.1p，2pD.1p，3P10.已知抛物线C：28yx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个焦点，若4FPFQ，则||QF=A.72B.52C.3D.211.已知函数()fx=3231axx，学科网若()fx存在唯一的零点0x，且0x＞0，则a的取值范围为A.（2，+∞）B.（-∞，-2）C.（1，+∞）D.（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A.62B.42C.6D.4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。13.8()()xyxy的展开式中22xy的系数为.(用数字填写答案)14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为.15.已知A，B，C是圆O上的三点，若1()2AOABAC，则AB与AC的夹角为.16.已知,,abc分别为ABC的三个内角,,ABC的对边，a=2，且(2)(sinsin)()sinbABcbC，则ABC面积的最大值为.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题满分12分)已知数列{na}的前n项和为nS，1a=1，0na，11nnnaaS，其中为常数.(Ⅰ)证明：2nnaa；（Ⅱ）是否存在，使得{na}为等差数列？并说明理由.18.(本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差2s（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布2(,)N，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差2s.(i)利用该正态分布，求(187.8212.2)PZ；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，学科网记X表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX.附：150≈12.2.若Z～2(,)N，则()PZ=0.6826，(22)PZ=0.9544.19.(本小题满分12分)如图三棱锥111ABCABC中，侧面11BBCC为菱形，1ABBC.(Ⅰ)证明：1ACAB；（Ⅱ）若1ACAB，o160CBB，AB=Bc，求二面角111AABC的余弦值.20.(本小题满分12分)已知点A（0，-2），椭圆E：22221(0)xyabab的离心率为32，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点.(Ⅰ)求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于,PQ两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.21.(本小题满分12分)设函数1(0lnxxbefxaexx，曲线()yfx在点（1，(1)f处的切线为(1)2yex.(Ⅰ)求,ab；（Ⅱ）证明：()1fx.请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE.(Ⅰ)证明：∠D=∠E；学科网（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C：22149xy，直线l：222xtyt（t为参数）.(Ⅰ)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为o30的直线，交l于点A，求||PA的最大值与最小值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若0,0ab，且11abab.(Ⅰ)求33ab的最小值；（Ⅱ）是否存在,ab，使得236ab？并说明理由.理科数学试题答案一、选择题（1）A（2）D（3）B（4）A（5）D（6）B（7）D（8）B（9）C（10）C（11）C（12）C二、填空题（13）-20（14）A（15）90°（16）3三、解答题（17）解：（I）由题设，11211,1.nnnnnnaaSaaS两式相减得121().nnnaaaa由于10na，所以2.nnaa……6分（II）由题设，11a，1211aaS，可得21.a由（I）知，31.a令2132aaa，解得4.故24nnaa，由此可得21na是首项为1，公差为4的等差数列，2143nan；2na是首项为3，公差为4的等差数列，241nan.所以21nan，12nnaa.因此存在4，使得数列na为等差数列.……12分（18）解：（I）抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差2s分别为1700.021800.091900.222000.33x2100.242200.082300.02=2002222(30)0.02(20)0.09(10)0.22s22200.33100.24200.08300.02150.……6分（II）（i）由（I）知，~(200,150)ZN，从而(187.8212.2=(20012.220012.2)0.6826.PZPZ）……9分（ii）由（i）知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826，依题意知X-B(100，0.6826)，所以1000.682668.26.EX……12分（19）解：（I）连接1BC，交1BCO于点，连接AO，因为侧面11BBCC为菱形，所以1111,BCBCOBCBC且为及的中点.又111,..ABBCBCABOAOABOBCAO所以平面由于平面，故又11,=.BOCOACAB故（II）因为11,.ACABOBCAOCO且为的中点，所以又因为1,,,,,ABBCBOABOCOAOBOAOBOB所以故从而两两相互垂直，以.OOBxOBOxyz为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系因为1160,.CBBCBBABBC所以为等边三角形又，则111111333(00),(100),(0,,0),(0,,0).3333333(0,,),(1,0,),(1,,0),3333ABBCABABABBCBC，，，，11111(,,)33=00,330,30.3(1,3,3).nxyzAAByznABnABxzn设是平面的法向量，则，即所以可取11111110,0,(1,3,3).mABmABCmBCm设是平面的法向量，则同理可取则1111cos,.71.7nmnmnmAABC所以二面角的余弦值为……12分（20）解：22222223(c,0)==3.33,a=2,b1.21.4FcccacaxEy（I）设，由条件知，，得又所以故的方程为……5分112222:=2,(,),(,).214xykxPxyQxyxykxy（II）当轴时不合题意，故设将代入得22(14)16120.kxkx2221,22222122238243=16(43)0,.44141431.412.1kkkkxkkkPQkxxkOPQdOPQk当即时，从而又点到直线的距离所以的面积221443=.241OPQkSdPQk……9分224443,0,.44474,20.2772222OPQtkttStttttktOPQyxyx设则因为当且仅当，即时等号成立，且满足所以，当的面积最大时，的方程为或……12分（21）解：112()'()1.(1)2,'(1).a1,2.xxxxabbfxfxaenxeeexxxffeb（I）函数的定义域为(0,+),由题意可得故……5分122()1,()11.()1,'()1.xxxfxenefxxnxxexegxxnxgxnx（II）由（I）知从而等价于设函数则11(0,)'()0;(,)'()0.xgxxgxee所以当时，当时，11(),()11.gxgxeeee故在（0,）单调递减，在（）单调递增，从而在(0,)的最小值为g()=-……8分2(),'()(1).(0,1)'()0;(1,)'()0.()1()(0,)(1).0()(),()1.xxhxxehxexexhxxhxhxhxhexgxhxfx设函数则所以当时当时，故在（0,1）单调递增，在(1,+)单调递减，从而在的最大值为综上，当时，即……12分（22）解：（I）由题设知,,,=ABCDDCBECBEEDE四点共圆，所以，由已知得=，故。……5分..,,BCNMNMBMCMNBC