2014年高考山东省数学（文）卷（有答案）

2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学本试卷分第Ｉ卷和第II卷两部分，共4页。满分150分，考试用时120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：１.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。２.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。３.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。４.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。参考公式：如果事件A，B互斥，那么()()()PABPAPB第Ｉ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)已知,,abRi是虚数单位.若ai＝2bi，则2()abi(A)34i(B)34i(C)43i(D)43i(2)设集合2{|20},{|14}AxxxBxx，则AB(A)(0,2](B)(1,2)(C)[1,2)(D)(1,4)(3)函数21()log1fxx的定义域为(A)(0,2)(B)(0,2](C)(2,)(D)[2,)(4)用反证法证明命题：“设,ab为实数，则方程30xaxb至少有一个实根”时，要做的假设是(A)方程30xaxb没有实根(B)方程30xaxb至多有一个实根(C)方程30xaxb至多有两个实根(D)方程30xaxb恰好有两个实根(5)已知实数,xy满足(01)xyaaa，学科网则下列关系式恒成立的是(A)33xy(B)sinsinxy(C)22ln(1)ln(1)xy(D)221111xy(6)已知函数log()(,0,1)ayxcacaa为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是(A)0,1ac(B)1,01ac(C)01,1ac(D)01,01ac(7)已知向量(1,3),(3,)abm.若向量,ab的夹角为6，则实数m(A)23(B)3(C)0(D)3(8)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为xEO(A)6(B)8(C)12(D)18(9)对于函数()fx，若存在常数0a，学科网使得x取定义域内的每一个值，都有()(2)fxfax，则称()fx为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是(A)()fxx(B)3()fxx(C)()tanfxx(D)()cos(1)fxx(10)已知,xy满足约束条件10,230,xyxy当目标函数zaxby(0,0)ab在该约束条件下取到最小值25时，22ab的最小值为(A)5(B)4(C)5(D)2第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.(11)执行右面的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为.(12)函数23sin2cos2yxx的最小正周期为.171615141312/kPa舒张压频率/组距0.360.080.160.24开始输入x是0n3430xx结束1xx否输入x1nn(13)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为。(14)圆心在直线20xy上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为。(15)已知双曲线22221(0,0)xyabab的焦距为2c，右顶点为A，抛物线22(0)xpyp的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且||FAc，则双曲线的渐近线方程为。三、解答题：本大题共6小题，共75分.(16)（本小题满分12分）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100（Ｉ）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.(17)（本小题满分12分）ABC中，角A，B，C所对的边分别为,,abc.已知63,cos,32aABA.（Ｉ）求b的值；（II）求ABC的面积.(18)（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD中，1,,,,2APPCDADBCABBCADEF平面∥分别为线段,ADPC的中点.（Ｉ）求证：APBEF∥平面；（II）求证：BEPAC平面.(19)（本小题满分12分）在等差数列{}na中，已知公差12a，2a是1a与4a的等比中项.（Ｉ）求数列{}na的通项公式；（II）设(1)2nnnba，记1234(1)nnnTbbbbb…，求nT.(20)（本小题满分13分）设函数1()ln1xfxaxx，其中a为常数.（Ｉ）若0a，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（II）讨论函数()fx的单调性.(21)（本小题满分14分）学科网在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，直线yx被椭圆C截得的线段长为4105.（Ｉ）求椭圆C的方程；ADDDDDD（II）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）.点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点.（i）设直线BD，AM的斜率分别为12,kk，证明存在常数使得12kk，并求出的值；（ii）求OMN面积的最大值.数学（文）（山东卷）参考答案一、选择题（1）A（2）C（3）C（4）A（5）A（6）D（7）B（8）C（9）D（10）B二、填空题（11）3（12）（13）12（14）22(2)(1)4xy（15）yx三、解答题（16）解：(I)因为样本容量与总体中的个数的比是615015010050，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：150150，1150350，1100250，所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.（II）设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为12312;,,;,ABBBCC,则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：123{,},{,},{,}ABABAB，12{,},{,}ACAC,1213111223{,},{,}{,},{,};{,}BBBBBCBCBB,2122313212{,},{,},{,},{,},{,}BCBCBCBCCC,共15个.每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的，记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：12132312{,},{,}{,},{,}BBBBBBCC共4个.所有4()15PD，即这2件商品来自相同地区的概率为415.（17）解：（I）在ABC中，由题意知23sin1cos3AA，又因为2BA，所有6sinsin()cos23BAA，由正弦定理可得63sin332sin33aBbA.（II）由2BA得3coscos()sin23BAA，由ABC,得()CAB.所以sinsin[()]sin()CABABsincoscossinABAB3366()333313.因此，ABC的面积11132sin3322232SabC.（18）解：（I）设ACBEO，连结OF，EC，由于E为AD的中点，1,//2ABBCADADBC，所以//,AEBCAEABBC,因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点，又F为PC的中点，因此在PAC中，可得//APOF.又OF平面BEF，AP平面BEF，所以AP∥平面BEF.(I)由题意知，//,EDBCEDBC,所以四边形BCDE为平行四边形，因此//BECD.又AP平面PCD，所以APCD，因此APBE.因为四边形ABCE为菱形，所以BEAC.又APACA，AP，AC平面PAC，所以BE⊥平面PAC.（19）解：（I）由题意知2111()(3)adaad，即2111(2)(6)aaa，解得12a，所以数列{}na的通项公式为2nan.（II）由题意知(1)2(1)nnnbann.所以122334(1)(1)nnTnn.因为12(1)nnbbn.可得，当n为偶数时，12341()()()nnnTbbbbbb48122n(42)22nn(2)2nn当n为奇数时，1()nnnTTb(1)(1)(1)2nnnn2(1)2n所以2(1),2(2)2nnnTnnn为奇数，为偶数.（20）解：（I）由题意知0a时，1(),(0,)1xfxxx，此时'22()(1)fxx，可得'1(1)2f，又(1)0f，所以曲线()yfx在(1,(1))f处的切线方程为210xy.（II）函数()fx的定义域为(0,)，2'222(22)()(1)(1)aaxaxafxxxxx，当0a时，'()0fx，函数()fx在(0,)上单调递增，当0a时，令2()(22)gxaxaxa，由于22(22)44(21)aaa，①当12a时，0，2'21(1)2()0(1)xfxxx，函数()fx在(0,)上单调递减，②当12a时，0,()0gx，'()0fx，函数()fx在(0,)上单调递减，③当102a时，0，设1212,()xxxx是函数()gx的两个零点，则1(1)21aaxa，2(1)21aaxa，由1121aaxa221210aaaa，所以1(0,)xx时，'()0,()0gxfx，函数()fx单调递减，12(,)xxx时，'()0,()0gxfx，函数()fx单调递增，2(,)xx时，'()0,()0gxfx，函数()fx单调递减，综上可知，当0a时，函数()fx在(0,)上单调递增；当12a时，函数()fx在(0,)上单调递减；当102a时，()fx在(1)21(0,)aaa，(1)21(,)aaa上单调递减，在(1)21(1)21(,)aaaaaa上单调递增.（21）解：（I）由题意知2232aba，可得224ab.椭圆C的方程可化简为2224xya.将yx代入可得55ax，因此25410255a，可得2a.因此1b，所以椭圆C的方程为2214xy.（II）（ⅰ）设111122(,)(0),(,)AxyxyDxy，则11(,)Bxy，因为直线AB的斜率11ABykx，又ABAD，所以直线AD的斜率11xky，设直线AD的方程为ykxm，由题意知0,0km，由2214ykxmxy，