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2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：•如果事件A，B互斥，那么•如果事件A，B相互独立，那么()()()PABPAPB()()()PABPAPB.•圆柱的体积公式VSh.•圆锥的体积公式13VSh.其中S表示圆柱的底面面积，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆柱的高.h表示圆锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i是虚数单位，复数734ii+=+（）（A）1i-（B）1i-+（C）17312525i+（D）172577i-+（2）设变量x，y满足约束条件0,20,12,yxyyx则目标函数2zxy的最小值为（）（A）2（B）3（C）4（D）5（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值为（）学科网FEDCBA（A）15（B）105（C）245（D）945（4）函数()()212log4fxx=-的单调递增区间是（）（A）()0,+¥（B）(),0-¥（C）()2,+¥（D）(),2-?（5）已知双曲线22221xyab-=()0,0ab的一条渐近线平行于直线l：210yx=+，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）（A）221520xy-=（B）221205xy-=（C）2233125100xy-=（D）2233110025xy-=（6）如图，ABCD是圆的内接三角形，BACÐ的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分CBFÐ；②2FBFDFA=?；③AECEBEDE??；④AFBDABBF??.则所有正确结论的序号是（）（A）①②（B）③④（C）①②③（D）①②④（7）设,abRÎ，则|“ab”是“aabb”的（）（A）充要不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充要也不必要条件（8）已知菱形ABCD的边长为2，120BAD?，点,EF分别在边,BCDC上，BEBCl=，DFDCm=.若1AEAF?，23CECF?-，则lm+=（）（A）12（B）23（C）56（D）712第Ⅱ卷注意事项：学科网1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2．本卷共12小题，共110分。二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生.（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_______3m.（11）设{}na是首项为1a，公差为-1的等差数列，nS为其前n项和.若124,,SSS成等比数列，则1a的值为__________.（12）在ABCD中，内角,,ABC所对的边分别是,,abc.已知14bca-=，2sin3sinBC=，则cosA的值为_______.（13）在以O为极点的极坐标系中，圆4sinrq=和直线sinarq=相交于,AB两点.若AOBD是等边三角形，则a的值为___________.（14）已知函数()23fxxx=+，xRÎ.若方程()10fxax--=恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为__________.三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）（15）（本小题满分13分）已知函数23cossin3cos34fxxxx，xR.（Ⅰ）求fx的最小正周期；（Ⅱ）求fx在闭区间,44上的最大值和最小值.学科网244242俯视图侧视图正视图（16）（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥PABCD-中，PA^底面ABCD，ADAB^，//ABDC，2ADDCAP===，1AB=，点E为棱PC的中点.（Ⅰ）证明BEDC^；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BFAC^，求二面角FABP--的余弦值.（18）（本小题满分13分）设椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点为12,FF，右顶点为A，上顶点为B.已知1232ABFF=.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点1F，经过原点的直线l与该圆相切.求直线的斜率.（19）（本小题满分14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合{}0,1,2,1,qM=-，集合{}112,,1,2,,nniAxxxxqxqxMin-+?==++.（Ⅰ）当2q=，3n=时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设,stAÎ，112nnsaaqaq-=+++，112nntbbqbq-=+++，其中（20）（本小题满分14分）已知函数()xfxxae=-()aRÎ，xRÎ.已知函数()yfx=有两个零点12,xx，且12xx.（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明21xx随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明12xx+随着a的减小而增大.参考答案及解析一、选择题题号12345678答案ABBDADCCxy2O-221（1）i是虚数单位，复数734ii+=+（）（A）1i-（B）1i-+（C）17312525i+（D）172577i-+解：A()()()()73472525134343425iiiiiiii+-+-===-++-.（2）设变量x，y满足约束条件0,20,12,yxyyx则目标函数2zxy的最小值为（）（A）2（B）3（C）4（D）5解：B作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点()1,1时，z取得最小值3.（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值为（）（A）15（B）105（C）245（D）945解：B1i=时，3T=，3S=；2i=时，5T=，15S=；3i=时，7T=，105S=，4i=输出105S=.（4）函数()()212log4fxx=-的单调递增区间是（）（A）()0,+¥（B）(),0-¥（C）()2,+¥（D）(),2-?解：D240x-，解得2x-或2x.由复合函数的单调性知()fx的单调递增区间为(),2-?.（5）已知双曲线22221xyab-=()0,0ab的一条渐近线平行于直线l：210yx=+，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）（A）221520xy-=（B）221205xy-=FEDCBA（C）2233125100xy-=（D）2233110025xy-=解：A依题意得22225baccabìï=ïïï=íïïï=+ïî，所以25a=，220b=，双曲线的方程为221520xy-=.（6）如图，ABCD是圆的内接三角形，BACÐ的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分CBFÐ；②2FBFDFA=?；③AECEBEDE??；④AFBDABBF??.则所有正确结论的序号是（）（A）①②（B）③④（C）①②③（D）①②④解：D由弦切角定理得FBDEACBAE???，又BFDAFB??，所以BFDD∽AFBD，所以BFBDAFAB=，即AFBDABBF??，排除A、C.又FBDEACDBC???，排除B.（7）设,abRÎ，则|“ab”是“aabb”的（）（A）充要不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充要也不必要条件解：C设()fxxx=，则()220,0,xxxxfxìï³-=íïïïî，所以()fx是R上的增函数，“ab”是“aabb”的充要条件.（8）已知菱形ABCD的边长为2，120BAD?，点,EF分别在边,BCDC上，BEBCl=，DFDCm=.若1AEAF?，23CECF?-，则lm+=（）（A）12（B）23（C）56（D）712解：C因为120BAD?，所以cos1202ABADABAD?鬃=-.因为BEBCl=，所以AEABADl=+，AFABADm=+.因为1AEAF?，所以()()1ABADABADlm+?=，即3222lmlm+-=①同理可得23lmlm--=-②，①+②得56lm+=.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2．本卷共12小题，共110分。二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生.解：60应从一年级抽取4604556300?+++名.（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_______3m.解：203p该几何体的体积为212042233ppp?鬃=3m.（11）设{}na是首项为1a，公差为-1的等差数列，nS为其前n项和.若124,,SSS成等比数列，则1a的值为__________.解：12-依题意得2214SSS=，所以()()21112146aaa-=-，解得112a=-.（12）在ABCD中，内角,,ABC所对的边分别是,,abc.已知14bca-=，2sin3sinBC=，则cosA的值为_______.解：14-因为2sin3sinBC=，所以23bc=，解得32cb=，2ac=.所以2221cos24bcaAbc+-==-.（13）在以O为极点的极坐标系中，圆4sinrq=和直线sinarq=相交于,AB两点.若244242俯视图侧视图正视图AOBD是等边三角形，则a的值为___________.解：3圆的方程为()2224xy+-=，直线为ya=.因为AOBD是等边三角形，所以其中一个交点坐标为,3aa骣÷ç÷ç÷÷ç桫，代入圆的方程可得3a=.（14）已知函数()23fxxx=+，xRÎ.若方程()10fxax--=恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为__________.解：01a或9a显然0a.（ⅰ）当()1yax=--与23yxx=--相切时，1a=，此时()10fxax--=恰有3个互异的实数根.（ⅱ）当直线()1yax=-与函数23yxx=+相切时，9a=，此时()10fxax--=恰有2个互异的实数根.结合图象可知01a或9a.解2：显然1a¹，所以231xxax+=-.令1tx=-，则45att=++.因为(][),,444tt???++，所以(][)45,19,tt?ゥ+++.结合图象可得01a或9a.三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）（15）（