2014年高考天津市数学（文）卷（有答案）

xy2O-221绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：•如果事件A，B互斥，那么•圆锥的体积公式13VSh.()()()PABPAPB其中S表示圆锥的底面面积，•圆柱的体积公式VSh.h表示圆锥的高.其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）i是虚数单位，复数734ii+=+（）（A）1i-（B）1i-+（C）17312525i+（D）172577i-+解：()()()()73472525134343425iiiiiiii+-+-===-++-，选A.（2）设变量x，y满足约束条件0,20,12,yxyyx则目标函数2zxy的最小值为（）（A）2（B）3（C）4（D）5解：作出可行域，如图FEDCBA结合图象可知，当目标函数通过点()1,1时，z取得最小值3，选B.（3）已知命题p：0x，总有()11xxe+，则pØ为（）（A）00x$£，使得()0011xxe£+（B）00x$，使得()0011xxe£+（C）0x，总有()11xxe+£（D）0x£，总有()11xxe+£解：依题意知pØ为：00x$，使得()0011xxe£+，选B.（4）设2logap=，12logbp=，2cp-=，则（）（A）abc（B）bac（C）acb（D）cba解：因为1a，0b，01c，所以acb，选C.（5）设{}na是首项为1a，公差为-1的等差数列，nS为其前n项和.若124,,SSS成等比数列，则1a=（）（A）2（B）-2（C）12（D）12解：依题意得2214SSS=，所以()()21112146aaa-=-，解得112a=-，选D.（6）已知双曲线22221xyab-=()0,0ab的一条渐近线平行于直线l：210yx=+，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）（A）221520xy-=（B）221205xy-=（C）2233125100xy-=（D）2233110025xy-=解：依题意得22225baccabìï=ïïï=íïïï=+ïî，所以25a=，220b=，选A.（7）如图，ABCD是圆的内接三角形，BACÐ的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分CBFÐ；②2FBFDFA=?；③AECEBEDE??；④AFBDABBF??.则所有正确结论的序号是（）（A）①②（B）③④（C）①②③（D）①②④解：由弦切角定理得FBDEACBAE???，又BFDAFB??，所以BFDD∽AFBD，所以BFBDAFAB=，即AFBDABBF??，排除A、C.又FBDEACDBC???，排除B，选D.（8）已知函数()3sincosfxxxww=+()0w，xRÎ，在曲线()yfx=与直线1y=的交点中，若相邻交点距离的最小值为3p，则()fx的最小正周期为（）（A）2p（B）23p（C）p（D）2p解：因为()2sin6fxxpw骣÷ç=+÷ç÷ç桫，所以()1fx=得1sin62xpw骣÷ç+=÷ç÷ç桫，否是输出Sn≤1？n=n1S=S+(2)n结束开始S=0,n=3xyO214xyO214所以266xkppwp+=+或5266xkppwp+=+，kZÎ.因为相邻交点距离的最小值为3p，所以233ppw=，2w=，Tp=，选C.第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上3．本卷共12小题，共100分。二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生.解：应从一年级抽取4604556300?+++名.（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_______3m.解：该几何体的体积为212042233ppp?鬃=3m.（11）阅读右边的框图，运行相应的程序，输出S的值为________.解：3n=时，8S=-；2n=时，4S=-，所以输出的S的值为-4.（12）函数()2lgfxx=的单调递减区间值是________.解：由复合函数的单调性知，()fx的单调递减区间是(),0-¥.（13）已知菱形ABCD的边长为2，120BAD?，点,EF分别在边,BCDC上，3BCBE=，DCDFl=.若1AEAF?，则l的值为_______.解：因为120BAD?，菱形的边长为2，所以2ABAD?-.因为()13AEAFABADADABl骣÷ç?+?÷ç÷ç桫，1AEAF?，所以1214133ll骣骣鼢珑-?+?=鼢珑鼢珑桫桫，解得12l=.（14）已知函数()254,22,0,0.xxxfxxxìï++ïï=í-£ïïïî若函数()yfxax=-恰有4个零点，则实数a的取值范围为__________.244242俯视图侧视图正视图解：作出()fx的图象，如图当直线yax=-与函数254yxx=---相切时，由0D=可得1a=，所以1a.三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）（15）（本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学,,ABC和3名女同学,,XYZ，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选中的可能性相同）.（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发表的概率.解：（I）从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z}，共15种.（II）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能接过为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y}，共6种.因此，事件M发生的概率62().155PM（16）（本小题满分13分）在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc.已知66acb-=，sin6sinBC=.（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos26A的值.解：（I）在三角形ABC中，由sinsinbcBC及CBsin6sin，可得6bc又bca66，有2ac，所以2222222646cos.2426bcacccAbcc(II)在三角形ABC中，由6cos.4A，可得10sin.4A，于是2115cos22cos1,sin22sincos.44AAAAA，所以153cos(2)cos2cossin2sin.6668AAAPFEDCBA（17）（本小题满分13分）如图，四棱锥PABCD-的底面是平行四边形，2BABD==，2AD=，5PAPD==，,EF分别是棱AD，PC的中点.（Ⅰ）证明//EF平面PAB；（Ⅱ）若二面角PADB--为60，（ⅰ）证明平面PBC^平面ABCD；（ⅱ）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.解：（I）)证明：如图取PB中点M,连接MF,AM.因为F为PC中点，故MF//BC且MF=12BC.由已知有BC//AD，BC=AD.又由于E为AD中点，因而MF//AE且MF=AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF//AM,又AM平面PAB,而EF平面PAB,所以EF//平面PAB.（II）（i）证明：连接PE,BE.因为PA=PD,BA=BD,而E为AD中点，故PEAD,BEAD,所以PEB为二面角P-AD-B的平面角.在三角形PAD中，由，可解得PE=2.在三角形ABD中，由,可解得BE=1.在三角形PEB中，PE=2,BE=1,60PEB,由余弦定理，可解得PB=3，从而90PBE，即BEPB,又BC//AD,BEAD,从而BEBC,因此BE平面PBC.又BE平面ABCD，所以平面PBC平面ABCD,（ii）连接BF，由（i）知BE平面PBC.所以EFB为直线EF与平面PBC所成的角，由PB=3，PA=5,AB=2得ABP为直角，而MB=12PB=32,可得AM=112,故EF=112,又BE=1，故在直角三角形EBF中，211sin.11BEEFBEF所以，直线EF与平面PBC所成角的正弦值为21111（18）（本小题满分13分）设椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点为12,FF，右顶点为A，上顶点为B.已知1232ABFF=.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点1F，经过点2F的直线l与该圆相切于点M，222MF=，求椭圆的方程.（Ⅰ）解：依题意得223abc+=，所以22223acc-=，解得2ac=，22e=.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知椭圆方程可化为22222xyc+=.因为()0,Bc，所以直线1BF的斜率11BFk=.因为11PFBF^，所以直线1PF的斜率11PFk=-，直线1PF的方程为yxc=--.设()00,Pxxc--，则有()2220022xxcc+--=，解得043cx=-或00x=（舍），所以4,33ccP骣÷ç-÷ç÷ç桫.因为线段PB的中点为22,33cc骣÷ç-÷ç÷ç桫，所以圆的方程为222225339cccxy骣骣鼢珑++-=鼢珑鼢珑桫桫.因为直线l与该圆相切，且222MF=，所以22529899cc+=，解得23c=.所以椭圆方程为22163xy+=.（19）（本小题满分14分）已知函数()2323fxxax=-()0a，xRÎ.（Ⅰ）求()fx的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的()12,x??，都存在()21,x??，使得()()121fxfx?.求a的取值范围.（Ⅰ）解：因为()2323fxxax=-，所以()()22221fxxaxxax¢=-=-.令()0fx¢=得0x=或1a.因为当0x或1xa时，()fx单调递减，当10xa时，()fx单调递增，所以()()00fxf==极小值，()2113fxfaa骣÷ç==÷ç÷ç桫极大值.（Ⅱ）解：因为()()121fxfx?，所以2323112222133aaxxxx骣骣鼢珑--=鼢珑鼢珑桫桫.（20）（本小题满分14分）xyOPMF2F1BA已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合{}0,1,2,1,qM=-，集合{}112,,1,2,,nniAxxxxqxqxMin-+?==++.（Ⅰ）当2q=，3n=时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设,stAÎ，112nnsaaqaq-=+++，112nntbbqbq-=+++，其中,iiabMÎ，1,2,,in=.证明：若nnab，则st.（Ⅰ）解：当2q=，3n=时，{}0,1M=，{}12324,,1,2,3iAxxxxxMxi==+?+，{}0,1,2,3,4,5,6,7A