2014年高考新课标Ⅱ数学（理）卷（有答案）

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，学科网只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N=2|320xxx≤，则MN=()A.｛1｝B.｛2｝C.｛0，1｝D.｛1，2｝2.设复数1z，2z在复平面内的对应点关于虚轴对称，xkb112zi，则12zz（）A.-5B.5C.-4+iD.-4-i3.设向量a,b满足|a+b|=10，|a-b|=6，则ab=()A.1B.2C.3D.54.钝角三角形ABC的面积是12，AB=1，BC=2，则AC=()A.5B.5C.2D.15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良学科网的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A.0.8B.0.75C.0.6D.0.456.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A.1727B.59C.1027D.137.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S=（）A.4B.5C.6D.78.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=A.0B.1C.2D.39.设x,y满足约束条件70310350xyxyxy≤≤≥，则2zxy的最大值为（）A.10B.8C.3D.210.设F为抛物线C:23yx的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A.334B.938C.6332D.9411.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（）A.110B.25C.3010D.2212.设函数3sinxfxm.若存在fx的极值点0x满足22200xfxm，则m的取值范围是（）A.,66,B.,44,C.,22,D.,14,第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，学科网每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题13.10xa的展开式中，7x的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)14.函数sin22sincosfxxx的最大值为_________.15.已知偶函数fx在0,单调递减，20f.若10fx，则x的取值范围是__________.16.设点M（0x,1），若在圆O:221xy上存在点N，使得xkb1∠OMN=45°，则0x的取值范围是________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列na满足1a=1，131nnaa.（Ⅰ）证明12na是等比数列，并求na的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112naaa…+.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积.19.（本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：121niiiniittyybtt，ˆˆaybt20.（本小题满分12分）设1F,2F分别是椭圆C:222210yxabab的左,右焦点，M是C上一点且2MF与x轴垂直，直线1MF与C的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN的斜率为34，求C的离心率；（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且15MNFN，求a,b.21.（本小题满分12分）已知函数fx=2xxeexxkb1（Ⅰ）讨论fx的单调性；（Ⅱ）设24gxfxbfx，当0x时，0gx,求b的最大值；（Ⅲ）已知1.414221.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，学科网同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）ADDE=22PB23.（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos，0,2.xkb1（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线:32lyx垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标.24.（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲设函数fx=1(0)xxaaa（Ⅰ）证明：fx≥2；（Ⅱ）若35f，求a的学科网取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题（1）D（2）A（3）A（4）B（5）A（6）C（7）D（8）D（9）B（10）D（11）C（12）C二、填空题（13）12（14）1（15）（1,3）（16）1,1三、解答题（17）解：（I）由131nnaa得1113()22nnaa。又11322a，所以12na是首项为32，公比为3的等比数列。1322nna，因此na的通项公式为312nna.（Ⅱ）由（I）知1231nna因为当1n时，13123nn，所以1113123nn。于是11211111313...1...(1)33232nnnaaa。所以121113...2naaa（18）解：（I）连接BD交AC于点O,连结EO。因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点。又E为PD的中点，所以EO∥PB。EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB∥平面AEC.（Ⅱ）因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直。如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，AP为单位长，建立空间直角坐标系Axyz，则(0,3,0),D31(0,,),22E31(0,,)22AE.设(,0,0)(0)bmm，则(,3,0),cm(,3,0)ACm。设1(,,)nxyz为平面ACE的法向量，则110,0,nACnAE即30,310,22mxyyz，可取13(,1,3)nm。又2(1,0,0)n为平面DAE的法向量，由题设121cos,2nn，即231342m，解得32m。因为E为PD的中点，所以三棱锥EACD的高为12.三菱锥EACD的体积11313332228V.（19）解：（I）由所给数据计算得17t（1+2+3+4+5+6+7）=417y（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.37211()ttt=9+4+1+0+1+4+9=287111()()tttyy=（3）×（1.4）+（2）×（1）+（1）×（0.7）+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14.71117211()()140.528()ttttyybtt，4.30.542.3aybt.所求回归方程为0.52.3yt.（Ⅱ）由（I）知，b=0.5﹥0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元。将2015年的年份代号t=9带入（I）中的回归方程，得0.592.36.8y故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.（20）解：（I）根据22cab及题设知22(,),23bMcbaca将222bac代入223bac，解得1,22ccaa（舍去）故C的离心率为12.（Ⅱ）由题意，原点O为12FF的中点，2MF∥y轴，所以直线1MF与y轴的交点(0,2)D是线段1MF的中点，故24ba，即24ba①由15MNFN得112DFFN。设11(,)Nxy，由题意知10y，则112()22cxcy，即113,21xcy代入C的方程，得2229114cab。将①及22cab代入②得229(4)1144aaaa解得27,428aba，故7,27ab.（21）解：（I）'()fx=20xxee，等号仅当0x时成立。所以()fx在(,)（Ⅱ）()gx=22(2)4()4()(84)xxxxfxbfxeebeebx'()gx=2222()(42)xxxxeebeeb=2(2)(22)xxxxeeeeb（i）当2b时，'()gx≥0，等号仅当0x时成立，所以()gx在(,)单调递增。而(0)g=0，所以对任意0,()0xgx；（ii）当2b时，若x满足2xxee22b，即20ln(12)xbbb时'()gx＜0.而(0)g=0，因此当20ln(12)xbbb时，()gx＜0.综上，b的最大值为2.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，3(ln2)222(21)ln22gbb.当b=2时，3(ln2)426ln22g＞0；ln2＞82312＞0.6928；当3214b时，2ln(12)ln2bbb，(ln2)g=322(322)ln22＜0，ln2＜18228＜0.6934所以ln2的近似值为0.693.（22）解：（I）连结AB,AC.由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA.因为∠PDA=∠DAC+∠DCA∠PAD=∠BAD+∠PAB∠DCA=∠PAB,所以∠DAC=∠BAD，从而BEEC。因此BE=EC.（Ⅱ）由切割线定理得2PAPBPC。因为PA=PD=DC，所以DC=2PB,BD=PB。由相交弦定理得ADDEBDDC，所以22ADDEPB.（23）解：（I）C的普通方程为22(1)1(01)xyy.可得C的参数方程为1cos,sin,xtyt（t为参数，0tx）（Ⅱ）设D(1cos,sin)tt.由（I）知C是以G（1,0）为圆心，1为半径的上半圆。因为C在点D处的切线与t垂直，所以直线GD与t的斜率相同，tan3,3tt.故D的直角坐标为(1cos,sin)33，即33(,)22。（24）解：（I）由0a，有()fx111()2xxaxxaaaaa.所以()fx≥2.（Ⅱ）1(3)33faa.当时a＞3时，(3)f=1aa，由(3)f＜5得3＜a＜5212。当0＜a≤3时，(3)f=16aa，由(3)f＜5得152＜a≤3.综上，a的取值范围是（152，5212）.