2014年高考重庆市数学（理）卷（有答案）

2014年重庆高考数学试题（理）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内表示复数(12)ii的点位于（）.A第一象限.B第二象限.C第三象限.D第四象限2.对任意等比数列{}na,下列说法一定正确的是（）139.,,Aaaa成等比数列236.,,Baaa成等比数列248.,,Caaa成等比数列369.,,Daaa成等比数列3.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数3x，3.5y，则由观测的数据得线性回归方程可能为（）.0.42.3Ayx.22.4Byx.29.5Cyx.0.34.4Cyx4.已知向量(,3),(1,4),(2,1)akbc，且(23)abc，则实数k=（）9.2A.0B.C3D.1525.执行如题（5）图所示的程序框图，学科网若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A.12sB.35sC.710sD.45s6.已知命题:p对任意xR，总有20x；:1qx是2x的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（）.Apq.Bpq.Cpq.Dpq7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.54B.60C.66D.728.设21FF，分别为双曲线)0,0(12222babyax的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得,49||||,3||||2121abPFPFbPFPF则该双曲线的离心率为（）A.34B.35C.49D.39.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、学科网2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A.72B.120C.144D.310.已知ABC的内角21)sin()sin(2sin,BACCBAACBA满足，，面积S满足CBAcbaS,,,,21分别为，记所对的边，则下列不等式成立的是（）A.8)(cbbcB.216b)+ab(aC.126abcD.1224abc二、填空题11.设全集BACBAnNnUU)(},9,7,5,3,1{},8,5,3,2,1{},101|{则______.12.函数)2(loglog)(2xxxf的最小值为_________.13.已知直线02yax与圆心为C的圆4122ayx相交于BA，两点，且ABC为等边三角形，学科网则实数a_________.考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.14.过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PB，PC分别交圆于B，C，若6PA，AC=8，BC=9，则AB=________.15.已知直线l的参数方程为tytx32（t为参数），以坐标原点为极点，x正半轴为极轴线l与曲线C的公共点的极经________.16.若不等式2212122aaxx对任意实数x恒成立，学科网则实数a的取值范围是____________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.17.（本小题13分，（I）小问5分，（II）小问8分）已知函数220sin3，xxf的图像关于直线3x对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.（I）求和的值；（II）若326432f，求23cos的值.18.（本小题满分13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，学科网从盒中任取3张卡片.（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;（2）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列（注：若三个数cba,,满足cba，则称b为这三个数的中位数）.19.（本小题满分12分）如图（19），四棱锥ABCDP，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，3,2BADAB，M为BC上一点，且APMPBM,21.（1）求PO的长；（2）求二面角CPMA的正弦值。20.（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问3分，（3）问5分）已知函数22()(,,)xxfxaebecxabcR的导函数'()fx为偶函数，且曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线的斜率为4c.（1）确定,ab的值；（2）若3c，判断()fx的单调性；（3）若()fx有极值，求c的取值范围.21.如题（21）图，设椭圆22221(0)xyabab的左右焦点分别为12,FF，点D在椭圆上，112DFFF，121||22||FFDF，12DFF的面积为22.（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..22.（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）设2111,22(*)nnnaaaabnN（1）若1b，求23,aa及数列{}na的通项公式；（2）若1b，问：是否存在实数c使得221nnaca对所有*nN成立？证明你的结论.数学（理）（重庆卷）参考答案一、选择题（1）A（2）D（3）A（4）C（5）C（6）D（7）B（8）B（9）B（10）A二、填空题（11）7,9（12）14（13）415（14）4（15）5（16）11,2三、解答题（17）解：（I）因fx的图象上相邻两个最高点的距离为，所以fx的最小正周期T，从而22T.又因fx的图象关于直线3x对称，所以2,0,1,2,,32kk因22得0k所以2236.（II）由（I）得33sin22264f所以1sin64.由263得0,62所以22115cos1sin1.6644因此3cossinsin266sincoscossin6666=1315131542428（18）解：（Ⅰ）由古典概型中的概率计算公式知所求概率为334339584CCPC（Ⅱ）X的所有可能值为1，2，3，且213111213454342363339917431,24284CCCCCCCCCPXPXCC,2127391312CCPXC.故X的分布列为X123P17424384112从而174314712342841228EX（19）解：（Ⅰ）如答（19）图，连结,ACBD，因ABCD为菱形，则ACBDO，且ACBD，以O为坐标原点，,,OAOBOP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系oxyz，因3BAD，故cos3,sin1,66OAABOBAB所以0,0,0,3,0,0,0,1,0,3,0,0,0,1,0,3,1,0.OABCOBBC由1,22BMBC知，131,,0444BMBC从而33,,044OMOBBM，即33,,0.44M设0,0,,0,Paa，则333,0,,,,.44APaMPa因为MPAP，故0,MPAP即2304a，所以33,22aa（舍去），即32PO.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，333333,0,,,,,3,0,24422APMPCP,设平面APM的法向量为1111,,nxyz，平面PMC的法向量为2222,,nxyz由0,0,nAPnMP得111113-3023330442xzxyz故可取1531,,2,3n由220,0,nMPnCP得2222233304423302xyzxz故可取21,3,2n从而法向量12,nn的夹角的余弦值为12121215cos,5||||nnnnnn故所求二面角APMC的正弦值为105.（20）解：（Ⅰ）对fx求导得2222xxfxaebec，由fx为偶函数，知fxfx，即2220xxabee，因220xxee，所以ab又022fabc，故1,1ab.（Ⅱ）当3c时，223xxfxeex，那么222222322310xxxxfxeeee故()fx在R上为增函数.（Ⅲ）由（Ⅰ）知2222xxfxeec，而222222224xxxxeeee，当0x时等号成立.下面分三种情况进行讨论.当4c时，对任意22,220xxxRfxeec，此时fx无极值；当4c时，对任意0,x222240xxfxee，此时fx无极值；当4c时，令2xet，注意到方程220tct有两根，21,2160,4cct即0fx有两个根111ln2xt或221ln2xt.当12xxx时，0fx；又当2xx时，0fx从而fx在2xx处取得极小值.综上，若fx有极值，则c的取值范围为4,.（21）解：（Ⅰ）设12,0,,0FcFc，其中222cab，由12122FFDF得1212222FFDFc从而122112122,222DFFSDFFFc故1c.从而122DF，由112DFFF得222211292DFDFFF，因此2322DF.所以12222aDFDF，故2222,1abac因此，所求椭圆的标准方程为：2212xy（Ⅱ）如答（21）图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆2212xy相交，111222,,,PxyPxy是两个交点，120,0yy，11FP,22FP是圆C的切线，且11FP22FP由圆和椭圆的对称性，易知2112,xxyy1212||.PPx，由（Ⅰ）知121,0,1,0FF，所以111122111,,1,FPxyFPxy，再由11FP22FP得221110xy，由椭圆方程得2211112xx，即211340xx，解得143x或10x.当10x时，12,PP重合，此时题设要求的圆不存在.当143x时，过12,PP分别与11FP,22FP垂直的直线的交点即为圆心C.由11FP,22FP是圆C的切线，且11FP22FP，知21CPCP，又12||||CPCP故圆C的半径1121242223CPPPx（22）解：（Ⅰ）解法一：232,21aa再由题设条件知221111nnaa从而21na是首项为0公差为1的等差数列，故21na=1n，即*11,nannN解法二：232,21aa可写为123111,211,311,aaa.因此猜想11nan.下用数学归纳法证明上式：当1n时结论显然成立.假设nk时结论成立，即11kak.则21111111111kkaakk这就是说，当1nk