2014年江苏省高中数学竞赛初赛模拟试题

11121314152122232425313233343541424344455152535455aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2014年江苏省高中数学竞赛初赛模拟试题第一套一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上）1、函数()sin()sin()cos366fxxxx的最小值等于__________2、若圆(x−a)2＋(y−2)2＝4被直线x−y+3=0截得的弦长为23，则a____________3、已知方程2133xxp有两个相异的正实数解，则实数p的取值范围是___________4、将25个数排成五行五列：已知第一行成等差数列，而每一列都成等比数列，且五个公比全相等.若244a,412a,4310a,则1155aa的值为__________5、在△ABC中，A=π3，ACABAP2，四边形ABPC的面积为932，则ACAB=__________6、已知|→a|=3|→b|=6，→a·→b＝－6，实数x、y满足x+2y=1，则|x→a+y→b|的最小值为_________7、已知实数x、y满足x−y≥0x+y−2≥02x−y−4≤0，则yyx362的最大值是___________8、实数yx,满足5x2＋4y2＝10x，则22xy的最大值为___________9、一个直角梯形的上底比下底短，该梯形分别绕它的上底、下底、直角腰旋转一周所得旋转体的体积分别为112π、80π和156π，则该梯形的周长为__________10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11、设函数()sin3cos1fxxx.⑴求函数()fx在[0,π2]上的最大值与最小值；⑵若实数cba,,使得1)()(cxbfxaf对任意Rx恒成立，求bcosca的值．12、给定两个数列nx，ny满足001xy，11(1)2nnnxxnx，211(1)12nnnyyny.证明对于任意的自然数n，都存在自然数nj，使得nnjyx.INMFEDCBA13、直线L1：y=x，与直线L2：y=kx(k＞0)，点P(m,m)是L1上的动点，以P为圆心的圆切直线L2于点A，过点P作垂直于x轴的直线交L2于B.（1）当|OB|=5|BA|时，求直线L2的方程；（2）若圆P的半径为1，△OPA的面积为1，求L2的方程.14、如图，△ABC的内心为I，,MN分别是,ABAC的中点，ABAC，△ABC的内切圆I分别与边,BCCA相切于,DE.证明：,,MNBIDE三线共点．DOABC第二套一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上）1、设关于x的不等式4x2+2(p−2)x−2p2−p+1＞0的解集为A，且A∩[−1,1]≠Ø，则实数p的取值范围是_______2、将函数f(x)＝sin(ωx＋π6)的图象向右平移π4个单位后与g(x)＝cos(ωx＋3π4)的图象重合，则当|ω|最小时，f(π)=___3、已知32nna，把数列{}na的各项排成三角形状如右图所示，记(,)Aij表示第i行中第j个数，则(10,8)A4、已知f(x)＝sin(π2＋α－x)＋cos(5π2－α－x)是偶函数，且－π2＜α＜π2，则满足条件的实数α有个．5、已知△ABC内接于圆O，若→CO·→AB=2→BO·→CA，且|AB|=3，|CA|=6，则cosA＝_________6、设u、v是实数，则(u－v)2＋(4−u2－2v－5)2的最小值为_________7、已知(x0，y0)是直线x＋y＝2k－1与圆x2＋y2＝k2＋2k－3的交点，则当x0y0取最小值时k＝8、已知点M、N分别在大小为60°的二面角α－a－β的α、β内，又点P到α、β的距离依次为2与3，则ΔPMN周长的最小值等于．9、111135799S的整数部分是10、已知非负实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a2＋b2＋c2＋18abc的最大值为_________，最小值为____________二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知△ABC的内切圆半径为2，且tanA＝－43，求△ABC面积的最小值.12．数列{an}满足：13a，2122*nnnaaanN.（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：数列{an}中的任两项互质；（3）记112nnnbaa，nS为{bn}的前n项和，求2011S的整数部分.12345678910111213141516aaaaaaaaaaaaaaaaEABDC13、如图,△ABC中，AB＞AC，AE是其外接圆的切线，D为AB上的点，且AD=AC=AE.求证：直线DE过△ABC的内心.14、设正整数a,b,c的最大公约数为1,并且abcab，证明：ab是一个完全平方数.第三套一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上）1、设132()cossincos222fxxxx，[,]64x，则()fx的值域为2、若函数21xfxx，且()[[()]]nnffxffffx个，则(8)1f3．在△ABC中，若tantan1AB，则sin(C－π12)＝____________4、设P是圆2236xy上一动点，点A(20,0),当P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹方程为_____________5、已知四边形ABCD，AC是BD的垂直平分线，垂足为E，O为直线BD外一点．设向量5OB，3OD，则()()OAOCOBOD的值是__________6、已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是棱A1D1和CC1的中点．则四面体1OMNB的体积为7、设等差数列{an}的前n项和为nS，若15160,0SS，则15121215,,,SSSaaa中最大的是8、实数,xy满足22236xyy，则xy的最大值是__________9、{a}表示实数a的正的小数部分，如：1.20.2,0.30.7,则方程lg(2)lg1xx在区间10,60上的根是10、不定方程11145xyz满足x≤y≤z的所有正整数解为______________________.二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11、已知单位圆与x轴正半轴交于点A，P,Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，∠AOP＝π6，∠AOQ＝α,α∈[0,π).⑴若Q(35,45),求cos(α－π6)的值；⑵设函数f(α)＝→OP·→OQ，求f(α)的值域.DENMCBAO12、如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于点E，DE与BC交于点N.求证：BN=CN.证明：连结AC，BD.证△BCD∽△OCA.CBCDCOCA⇒证△CDN∽△CAM1.22CNCDCBCBCNCBCMCACOCM⇒⇒.BNCN13、已知点(x，y)在椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的第一象限上运动．⑴求点(yx,xy)的轨迹1C的方程；⑵若把轨迹1C的方程表达式记为y=f(x)，且在(0,33)内y=f(x)有最大值，试求椭圆C的离心率的取值范围．14、设m是一个小于2006的四位数，已知存在正整数n，使得m－n为质数，且mn是一个完全平方数，求满足条件的所有四位数m.