2014年全国初中数学联合竞赛福建赛区试题参考答案

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2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.已知,xy为整数,且满足22441111211()()()3xyxyxy,则xy的可能的值有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答】C.由已知等式得2244224423xyxyxyxyxyxy,显然,xy均不为0,所以xy=0或32()xyxy.若32()xyxy,则(32)(32)4xy.又,xy为整数,可求得12,xy,或21.xy,所以1xy或1xy.因此,xy的可能的值有3个.2.已知非负实数,,xyz满足1xyz,则22txyyzzx的最大值为()A.47B.59C.916D.1225【答】A.21222()2()()4txyyzzxxyzyzxyzyz212(1)(1)4xxx2731424xx2734()477x,易知:当37x,27yz时,22txyyzzx取得最大值47.3.在△ABC中,ABAC,D为BC的中点,BEAC于E,交AD于P,已知3BP,1PE,则AE=()A.62B.2C.3D.6【答】B.因为ADBC,BEAC,所以,,,PDCE四点共圆,所以12BDBCBPBE,又2BCBD,所以6BD,所以3DP.又易知△AEP∽△BDP,所以AEPEBDDP,从而可得1623PEAEBDDP.4.6张不同的卡片上分别写有数字2,2,4,4,6,6,从中取出3张,则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是()A.12B.25C.23D.34【答】B.若取出的3张卡片上的数字互不相同,有2×2×2=8种取法;若取出的3张卡片上的数字有相同的,有3×4=12种取法.所以,从6张不同的卡片中取出3张,共有8+12=20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长,只可能是:(2,4,4),(4,4,6),(2,6,6),(4,6,6),由于不同的卡片上所写数字有重复,所以,取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2=8种.因此,所求概率为82205.5.设[]t表示不超过实数t的最大整数,令{}[]ttt.已知实数x满足33118xx,则1{}{}xx()A.12B.35C.1(35)2D.1【答】D.设1xax,则32223211111()(1)()[()3](3)xxxxxaaxxxxx,所以2(3)18aa,因式分解得2(3)(36)0aaa,所以3a.由13xx解得1(35)2x,显然10{}1,0{}1xx,所以1{}{}xx1.6.在△ABC中,90C,60A,1AC,D在BC上,E在AB上,使得△ADE为等腰直角三角形,90ADE,则BE的长为()A.423B.23C.1(31)2D.31【答】A.过E作EFBC于F,易知△ACD≌△DFE,△EFB∽△ACB.设EFx,则2BEx,22AEx,2(1)DEx,1DFAC,故2221[2(1)]xx,即2410xx.又01x,故可得23x.故2423BEx.二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1.已知实数,,abc满足1abc,1111abcbcacab,则abc____.【答】0.由题意知1111121212cab,所以(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)abbcacabc整理得22()8abcabc,所以abc0.2.使得不等式981715nnk对唯一的整数k成立的最大正整数n为.FEBCAD【答】144.由条件得7889kn,由k的唯一性,得178kn且189kn,所以2118719872kknnn,所以144n.当144n时,由7889kn可得126128k,k可取唯一整数值127.故满足条件的正整数n的最大值为144.3.已知P为等腰△ABC内一点,ABBC,108BPC,D为AC的中点,BD与PC交于点E,如果点P为△ABE的内心,则PAC.【答】48.由题意可得PEAPEBCEDAED,而180PEAPEBAED,所以60PEAPEBCEDAED,从而可得30PCA.又108BPC,所以12PBE,从而24ABD.所以902466BAD,11()(6630)1822PAEBADCAE,所以183048PACPAECAE.4.已知正整数,,abc满足:1abc,111abc,2bac,则b.【答】36.设,ac的最大公约数为(,)acd,1aad,1ccd,11,ac均为正整数且11(,)1ac,11ac,则2211bacdac,所以22|db,从而|db,设1bbd(1b为正整数),则有2111bac,而11(,)1ac,所以11,ac均为完全平方数,设2211,amcn,则1bmn,,mn均为正整数,且(,)1mn,mn.又111abc,故111()111dabc,即22()111dmnmn.注意到222212127mnmn,所以1d或3d.若1d,则22111mnmn,验算可知只有1,10mn满足等式,此时1a,不符合题意,故舍去.若3d,则2237mnmn,验算可知只有3,4mn满足等式,此时27,36,48abc,符合题意.因此,所求的36b.EDABPC第二试一、(本题满分20分)设实数,ab满足22(1)(2)40abbba,(1)8abb,求2211ab的值.解由已知条件可得222()40abab,()8abab.设abx,aby,则有2240xy,8xy,联立解得(,)(2,6)xy或(,)(6,2)xy.若(,)(2,6)xy,即2ab,6ab,则,ab是一元二次方程2260tt的两根,但这个方程的判别式2(2)24200,没有实数根;若(,)(6,2)xy,即6ab,2ab,则,ab是一元二次方程2620tt的两根,这个方程的判别式2(6)8280,它有实数根.所以2222222222211()262282abababababab.二.(本题满分25分)如图,在平行四边形ABCD中,E为对角线BD上一点,且满足ECDACB,AC的延长线与△ABD的外接圆交于点F.证明:DFEAFB.证明由ABCD是平行四边形及已知条件知ECDACBDAF.又A、B、F、D四点共圆,所以BDCABDAFD,所以△ECD∽△DAF,所以EDCDABDFAFAF.又EDFBDFBAF,所以△EDF∽△BAF,故DFEAFB.FCABDE三.(本题满分25分)设n是整数,如果存在整数,,xyz满足3333nxyzxyz,则称n具有性质P.在1,5,2013,2014这四个数中,哪些数具有性质P,哪些数不具有性质P?并说明理由.解取1x,0yz,可得33311003100,所以1具有性质P.取2xy,1z,可得33352213221,所以5具有性质P.为了一般地判断哪些数具有性质P,记333(,,)3fxyzxyzxyz,则33(,,)()3()3fxyzxyzxyxyxyz3()3()()3()xyzxyzxyzxyxyz=3()3()()xyzxyzxyyzzx2221()()2xyzxyzxyyzzx2221()[()()()]2xyzxyyzzx.即(,,)fxyz2221()[()()()]2xyzxyyzzx①不妨设xyz,如果1,0,1xyyzxz,即1,xzyz,则有(,,)31fxyzz;如果0,1,1xyyzxz,即1xyz,则有(,,)32fxyzz;如果1,1,2xyyzxz,即2,1xzyz,则有(,,)9(1)fxyzz;由此可知,形如31k或32k或9k(k为整数)的数都具有性质P.因此,1,5和2014都具有性质P.若2013具有性质P,则存在整数,,xyz使得32013()3()()xyzxyzxyyzzx.注意到3|2013,从而可得33|()xyz,故3|()xyz,于是有39|()3()()xyzxyzxyyzzx,即9|2013,但2013=9×223+6,矛盾,所以2013不具有性质P.

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