2014年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）解答

2014年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1.若正数,ab满足2362log3loglog()abab，则11ab的值为．答案：108．解：设2362log3loglog()ababk，则232,3,6kkkabab，从而23231162310823kkkababab．2.设集合312baba中的最大元素与最小元素分别为,Mm，则Mm的值为．答案：523．解：由12ab知，33251ba，当1,2ab时，得最大元素5M．又333223baaaaa，当3ab时，得最小元素23m．因此，523Mm．3.若函数2()1fxxax在[0,)上单调递增，则实数a的取值范围是．答案：[2,0]．解：在[1,)上，2()fxxaxa单调递增，等价于12a，即2a．在[0,1]上，2()fxxaxa单调递增，等价于02a，即0a．因此实数a的取值范围是[2,0]．4.数列{}na满足12a，*12(2)()1nnnaannN，则2014122013aaaa．答案：20152013．解：由题设122(1)2(1)21nnnnnnaaannn112(1)2232(1)12nnnannn．记数列{}na的前n项和为nS，则21223242(1)nnSn−=+×+×+++，所以2322223242(1)nnSn=×+×+×+++，1将上面两式相减，得122(1)(2222)nnnnSn−−=+−++++2(1)22nnnnn=+−=．故2013201420131220132201522013aaaa20152013．5.正四棱锥PABCD中，侧面是边长为1的正三角形，,MN分别是边,ABBC的中点，则异面直线MN与PC之间的距离是．答案：24．解：设底面对角线,ACBD交于点O，过点C作直线MN的垂线，交MN于点H．由于PO是底面的垂线，故POCH，又ACCH，所以CH与平面POC垂直，故CHPC．因此CH是直线MN与PC的公垂线段，又2224CHCN，故异面直线MN与PC之间的距离是24．6.设椭圆Г的两个焦点是12,FF，过点1F的直线与Г交于点,PQ．若212PFFF，且1134PFQF，则椭圆Г的短轴与长轴的比值为．答案：267．解：不妨设114,3PFQF．记椭圆Г的长轴，短轴的长度分别为2a，2b，焦距为2c，则2122PFFFc，且由椭圆的定义知，1212224aQFQFPFPFc．于是212121QFPFPFQFc．设H为线段1PF的中点，则12,5FHQH，且有21FHPF．由勾股定理知，2222222121QFQHFHFFFH，即2222(21)5(2)2cc，解得5c，进而7a，26b=，因此椭圆Г的短轴与长轴的比值为267ba．7.设等边三角形ABC的内切圆半径为2，圆心为I．若点P满足1PI，则△APB与△APC的面积之比的最大值为．答案：352．解：由1PI知点P在以I为圆心的单位圆K上．2设BAP．在圆K上取一点0P，使得取到最大值0，此时0P应落在IAC内，且是0AP与圆K的切点．由于003，故001sinsinsinsin621sinsinsinsin23336APBAPCAPABSSAPAC，①其中，006IAP．由02API知，011sin24IPAIr，于是cot15，所以13sincossincot315335622213cot3153sincossin622．②根据①、②可知，当0PP时，APBAPCSS的最大值为352．8.设A，B，C，D是空间四个不共面的点，以12的概率在每对点之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则A，B可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为．答案：34．解：每对点之间是否连边有2种可能，共有6264种情况．考虑其中A，B可用折线连接的情况数．(1)有AB边：共5232种情况．(2)无AB边，但有CD边：此时A，B可用折线连接当且仅当A与C，D中至少一点相连，且B与C，D中至少一点相连，这样的情况数为22(21)(21)9．(3)无AB边，也无CD边：此时AC，CB相连有22种情况，AD，DB相连也有22种情况，但其中AC，CB，AD，DB均相连的情况被重复计了一次，故A，B可用折线连接的情况数为222217．以上三类情况数的总和为329748，故A，B可用折线连接的概率为483644．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）平面直角坐标系xOy中，P是不在x轴上的一个动点，满足条件：过P可作抛物线24yx的两条切线，两切点连线Pl与PO垂直．设直线Pl与直线PO，x轴的交点分别为Q，R．(1)证明R是一个定点；(2)求PQQR的最小值．3解：(1)设P点的坐标为(,)(0)abb，易知0a≠．记两切点A，B的坐标分别为1122(,),(,)xyxy，则PA，PB的方程分别为112()yyxx，①222()yyxx，②而点P的坐标(,)ab同时满足①，②，故A，B的坐标11(,)xy，22(,)xy均满足方程2()byxa．③故③就是直线AB的方程．直线PO与AB的斜率分别为ba与2b，由POAB知，21bab，故2a．………………4分从而③即为2(2)yxb，故AB与x轴的交点R是定点(2,0)．……………8分(2)因为2a=−，故直线PO的斜率12bk，直线PR的斜率24bk．设OPR，则为锐角，且2212121118282422tan2224bbPQkkbbbbQRkkbb．当22b时，PQQR的最小值为22．…………………16分10.（本题满分20分）数列{}na满足16a，*1arctan(sec)()Nnnaan．求正整数m，使得121sinsinsin100maaa．解：由已知条件可知，对任意正整数n，1,22na，且1tansecnnaa．①由于sec0na，故10,2na．由①得，2221tansec1tannnnaaa，故221132tan1tan133nnanan，即32tan3nna．…………………10分因此121212tantantansinsinsinsecsecsecmmmaaaaaaaaa12231tantantantantantanmmaaaaaa（利用①）11tan1tan31maam．由1131100m，得m=3333．…………………20分411.（本题满分20分）确定所有的复数，使得对任意复数12121,(,1,zzzzz≠2)z，均有211()zz≠222()zz．解：记2()()fzzz．则22121122()()()()fzfzzzzz121212(2)()zzzzzz．①假如存在复数12121,(,1,zzzzz≠2)z，使得12()()fzfz，则由①知，121212(2)()zzzzzz，利用121212zzzzzz≠0知，12122222zzzz，即2．…………………10分另一方面，对任意满足2的复数，令12i,i22zz，其中012，则1z≠2z，而i122，故12,1zz．此时将12zz，122izz，122i2izz代入①可得，12()()2i(2i)0fzfz，即12()()fzfz．综上所述，符合要求的的值为,2C．…………………20分5