2014年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题参考答案

2014年福建省高中数学竞赛暨2014年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：2014年5月17日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）1．已知直线1l：260axy，2l：2(1)10xaya，若12ll，则a。【答案】23【解答】12212(1)03llaaa。2．函数23()3sinsincos2fxxxx（122x，）的值域为。【答案】112x，【解答】1cos21313()3sin2sin2cos2sin(2)222223xfxxxxx。由122x，知，22633x，1sin(2)123x。3．在三棱锥DABC中，2ABBC，ABBC，BCCD，DAAB，60CDA。则三棱锥DABC的体积为。【答案】43【解答】如图，作DEABC面于E，连EA、EC、ED。∵BCCD，DAAB，∴ECCB，EAAB，四边形EABC为矩形。由ABBC知，四边形EABC为正方形，且DADC。又60CDA，因此，DAC△为正三角形，DAAC。∴2222EAEDEAEC。于是，2EDEC。∴三棱锥DABC的体积为114(22)2323。4．已知1F、2F为双曲线C：22124yx的左、右焦点，P为双曲线C上一点，且点P在第一象限。若1243PFPF，则12PFF△内切圆半径为。【答案】2【解答】设14PFt，则23PFt，12432ttPFPF。于是，2t，18PF，26PF，结合1210FF知，12PFF△为直角三角形，12PFPF。∴12PFF△内切圆半径681022r。5．已知集合2280Axxx，2240Bxxax。若0a，且AB中恰有1个整数，则a的取值范围为。【答案】13562，【解答】42Axxx或。设2()24fxxax，则()fx的轴对称0xa。由(4)16840fa，知4Bxx。因此，AB中恰有的一个整数为3。∴(3)9640(4)16840fafa，解得13562a。故，a的取值范围为13562，。6．若分数pq（p，q为正整数）化成小数为0.198pq，则当q取最小值时，pq。【答案】121【解答】由10.1985pq，知15pq，5qp，记5qpm（m为正整数）。于是，0.1985ppm，0.198(5)0.199(5)pmppm。∴19.839.8mpm。当1m时，2039p，取20p，1m时，q最小为101。又200.19801980101符合要求。故，当q最小时，121pq。7．随机地投掷3粒骰子，则其中有2粒骰子出现的点数之和为7的概率为。【答案】512【解答】投掷3粒骰子共有36216种可能。考虑7162534。投掷三粒骰子，有两粒骰子出现1和6的可能有66630（种）。（分为(16)，，，(16)，，，(61)，，，(61)，，，(16)，，，(61)，，这6种可能，每类有6种情况。其中，(161)，，，(166)，，，(116)，，，(611)，，，(616)，，，(661)，，重复出现）同理，投掷三粒骰子，有两粒骰子出现2和5的可能与有两粒骰子出现3和4的可能均为30种。∴投掷3粒骰子，其中有2粒骰子出现的点数之和为7的有33090种可能。∴所求概率为90521612。8．已知点(11)A，，(40)B，，(22)C，。平面区域D由所有满足APABAC（1a，1b）的点()Pxy，组成的区域。若区域D的面积为8，则ab的最小值为。【答案】4【解答】如图，延长AB至点N，延长AC至点M，使得ANaAB，AMbAC。四边形ABEC、ANGM、EHGF均为平行四边形。由条件知，点()Pxy，组成的区域D为图中的阴影部分，即四边形EHGF（不含边界EH、EF）。∵(31)AB，，(13)AC，，(22)BC，。∴10AB，10AC，22BC，101083cos521010CAB，4sin5CAB。∴四边形EHGF的面积为4(1)10(1)1085ab。∴(1)(1)1ab，11(1)(1)211abaaaa。由1a，1b知，当且仅当11a，即2ab时，ab取最小值4。9．23201488889999A被63除的余数为。（符号x表示不超过x的最大整数。）【答案】56【解答】∵对任意正整数k，2189k与289k均不是整数，且2122188899kkk。∴对任意正整数k，2122122188881817(mod63)9999kkkkk。∴23201488881007756(mod63)9999A。10．若a，b，c为关于x的方程320xxxm的三个实根，则m的最小值为。【答案】527【解答】依题意，有32()()()xxxmxaxbxc。∴3232()()xxxmxabcxabbccaxabc。∴1()1abcabbccamabc，11abcabbccamabc。∴21()1()1(1)1bcabcaabcaaaa。2222()2()3abcabcabbcca。∴21a，21b，21c中至少有一个成立。不妨设21a，11a。∴232(1)mabcaaaaaa。设32()mfaaaa，则2()321(31)(1)faaaaa。∴113a时，()0fa；113a时，()0fa。()fa在113，上为减函数，在113，上为增函数。∴m有最小值15()327f。此时，13a，13b，53c或13a，53b，13c。二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）11．已知na为递增的等比数列，且126aa，3424aa。2(1)nnnaba，数列nb的前n项和为nT，求证：对一切正整数n均有，3nT。【解答】设na的公比为q，则0q。由126aa，3424aa，知112311624aaqaqaq，122aq。∴1222nnna。……………………………5分∴222(1)(21)nnnnnaba。∵2n时，1211222211(21)(21)(21)(21)(22)(21)(21)2121nnnnnnnnnnnnnnb，……………………………10分∴2n时，122311111111()()()21321212121212121nnnnTb。………………………………15分又1n时，1123Tb。∴对一切正整数n均有3nT。……………………………20分12．已知F为椭圆C：22143xy的右焦点，椭圆C上任意一点P到点F的距离与点P到直线l：xm的距离之比为12。（1）求直线l方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，过点F的直线交椭圆C于D、E两点，直线AD、AE与直线l分别相交于M、N两点。以MN为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。【解答】（1）(10)F，，设()Pxy，为椭圆C上任意一点，依题意有22(1)12xyxm。∴2224(1)4()xyxm。将224123yx代入，并整理得2(82)160mxm。由点()Pxy，为椭圆上任意一点知，方程2(82)160mxm对22x的x均成立。∴820m，且2160m。解得4m。∴直线l的方程为4x。……………………5分（2）易知直线DE斜率不为0，设DE方程为1xty。由221143xtyxy，得22(34)690tyty。设11()Dxy，，22()Exy，，则122634tyyt，122934yyt。……………10分由(20)A，，知AD方程为1100(2)2yyxx，点M坐标为116(4)2yMx，。同理，点N坐标为226(4)2yNx，。…………………15分由对称性，若定点存在，则定点在x轴上。设(0)Gn，在以MN为直径的圆上。则2121212126636(4)(4)(4)022(2)(2)yyyyGMGNnnnxxxx，，。∴22121221212123636(4)(4)0(3)(3)3()9yyyynntytytyytyy。即22236(9)(4)093(6)9(34)ntttt，2(4)90n，1n或7n。∴以MN为直径的圆恒过x轴上两定点(10)，和(70)，。…………………20分注：若只求出或证明两定点中的一个不扣分。也可以由特殊的直线l，如1x，得到圆与x轴的交点(10)，和(70)，后，再予以证明。13．如图，在五边形ABCDE中，BCAE∥，ABBCAE，ABCCDE，M为CE中点，O为BCD△的外心，且OMMD。延长DM至点K，使得MKMD。（1）求证：BKCBDC；（2）求证：2ABCBDA。【解答】（1）∵M为KD中点，且OMMD，∴OKOD，点K在BCD△的外接圆上。∴BKCBDC。…………5分（2）延长AE至点T，使得ETBC。联结TB，TC，TD，TK，KE。由ABBCAE知，ATAB。又BCAE∥。∴CBTBTAABT，2ABCBTA，且四边形BCTE为平行四边形。∴M也是BT中点。……………10分∴四边形BKTD为平行四边形，BKDKDT。四边形KCDE为平行四边形，CKDKDE。∴BKCBKDCKDKDTKDEEDT。∴BDCBKCEDT。………15分∴BDTBDEEDTBDEBDCCDEABC。∴180BDTBATABCBAT。∴B、A、T、D四点共圆。∴BDABTA。∴22ABCBTABDA。……………20分14．已知1()ln(1)311fxaxxx。（1）若0x时，()0fx恒成立，求实数a的取值范围；（2）求证：222223411ln(21)411421431414nnn对一切正整数n均成立。【解答】（1）2222213(1)(1)13(6)2()31(1)(1)(1)axaxxaxafxxxxx。若2a，则60a，0x时，()0fx。此时，()fx在区间0，上为增函数。∴0x时，()(0)0fxf。2a符合要求。……………………5分若2a，则方程23(6)20xaxa有两个异号的实根，设这两个实根为1x，2x，且120xx。∴20xx时，()0fx。()fx在区间20x，上为减函数，