2014年数学联赛安徽省初赛试卷及答案

2014全国高中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间：2014年7月5日上午9:00—11:30）题号一二总分9101112得分评卷人复核人注意：1．本试卷共12小题，满分150分；2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3．书写不要超过装订线；4．不得使用计算器．一、填空题（每题8分，共64分）1.函数)(543222R∈++++=xxxxxy的值域是2.函数．)2015tan()2014tan()2013tan(xxxy+−=在[]π,0中的零点个数是3.设定点．)1,2(A，动点B在x轴上，动点C在直线xy=上，则ABC∆的周长的最小值是4.设．21,PP是平面上两点，12+kP是kP2关于1P的对称点，22+kP是12+kP关于2P的对称点，*N∈k．若121=PP，则=20142013PP5.已知四面体．ABCD的侧面展开图如下图所示，则其体积是6.设复数．z满足21≤+zz，则z的取值范围是7.设动点．),1(),0,(tQtP，其中参数]1,0[∈t，则线段PQ扫过的平面区域的面积是8.从正12边形的顶点中取出4个顶点，它们两两不相邻的概率是．．二、解答题（第9—10题每题21分，第11—12题22分，共86分）9.已知正实数zyx,,满足1=++zyx．求证：0222≥+−++−++−xzxyzyzxyxyz．10.设数列}{na满足1,23,1211≥+==+naaaannn．求证：（1）当2≥n时，na严格单调递减．（2）当1≥n时，nnrran2211323−=−+，这里32−=r．11.已知平面凸四边形ABCD的面积为1．求证：224+≥+++++CDBDBCADACAB．12.求证：（1）方程013=−−xx恰有一个实根ω，并且ω是无理数；（2）ω不是任何整数系数二次方程)0,,,(02≠∈=++acbacbxaxZ的根．填空题答案①]22,22[+−②2015③10④4024⑤32⑥]12,12[+−⑦61⑧337填空题解答1．⇔++++=543222xxxxy关于x的方程0)35()24()1(2=−+−+−yxyxy有实根0)35)(1()12(2≥−−−−⇔yyy，化简得0242≤+−yy，2222+≤≤−y．2．)2015tan()2014tan()2013tan(xxxy+−=)2015cos()2014cos()2013cos()]2015sin()2013sin(1)[2014sin()2015cos()2014cos()2013cos()]2015cos()2013cos()4028cos(1)[2014sin()2015cos()2014cos()2013cos()]2015cos()2013cos()2014(cos2)[2014sin()2014cos()2014sin()2015cos()2013cos()2014cos()2014sin(2)2014cos()2014sin()2015cos()2013cos()4028sin()2014cos()2014sin()2015cos()2013cos()2015sin()2013cos()2015cos()2013sin(2xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx−=−+=−=−=−=−+=由y的定义域可知1)2015sin()2013sin(≠xx，y与)2014sin(x有相同的零点，在[]π,0中共有2015个零点．3．设)1,2(−P是A关于x轴的对称点，)2,1(Q是A关于直线xy=的对称点，则ABC∆的周长等于10=≥++PQCQBCPB．4．+−=+−=⇒+−=⇒−=−=++++++221122122221222122222112)(2)(2)(222PPPkPPPPkPPPPPPPPPPPkkkkkkkk．从而，2122124PPkPPkk=++．特别，402420142013=PP．5．以图示坐标系为Oxy平面，建立空间直角坐标系．根据展开图及其对称性，可设),,3(zyA，)0,4,3(B，)0,2,2(C，)0,2,4(D．由+−+==+−==2222)2(12)4(5zyACzyAB，解得±==12zy．因此，323=⋅=zSVBCDABCD．6．设rz=，则有rzr21122≤+≤−，即2224)1(rr≤−．由此解得2232232+≤≤−r，1212+≤≤−r．7．直线PQ的方程为)(1txtty−−=．固定]1,0[∈x，当],0[xt∈变化时，−+−−−−=ttxxy1112的取值范围是xxy−−−≤≤1220．所求平面区域的面积()6112210=−−−=∫dxxx．8．从12个顶点中取出4个顶点的取法总数为412C．把正12边形的顶点依次编号1~12，设被取出的4个顶点的编号从小到大为dcba,,,．若它们两两不相邻，则有020202≥−−=≥−−=≥−−=cdzbcyabx，，当1=a时，满足11≤d即4≤++zyx的),,(zyx共有1537=C个；当2≥a时，满足12≤d即azyx−≤++6的),,(zyx共有39aC−个．因此，两两不相邻的概率为337495105412333435363737==+++++CCCCCCC．9-12题解答9．根据均值（或柯西）不等式++++++++++xzzyyxxzzyyx212121))2()2()2((9212121)2)(2)(2(933=+++⋅+++⋅≥xzzyyxxzzyyx-----10分从而.3212121)(≥+++++++xzzyyxzyx-----15分因此.03222222≥−+++++++++++=+−++−++−xzzyxzyzyxyxzyxxzxyzyzxyxyz．-----21分（注：本题条件1=++zyx是多余的）。10．（1）当2≥n时，根据平均不等式，323121≥+=−−nnnaaa．-----5分由于na都是有理数，故3na．从而02321−=−+nnnnaaaa，即na严格单调递减．-----10分（2）由nnnaaa2321+=+可得2113333+−=+−++nnnnaaaa．-----16分由此得nraann21133=+−++，其中323311−=+−=aar．解得nnrran221113−+=+，nnrran2211323−=−+．-----21分11．假设凸四边形ABCD满足CDBDBCADACABL+++++=最小．此时ABCD一定是菱形，否则如图所示，可固定两对角点（不妨设是DB,），过A,C分别做BD的平行线，调整另外两点CA,的位置，使它们分别位于两平行线上，则ABD∆和CBD∆的面积都不变，但L变大．从而AB=AD,BC=CD.类似地，AB=BC,CD=DA.即ABCD是菱形-----12分设菱形ABCD的两条对角线长度分别是yx,，则2=xy，222yxyxL+++=．根据平均不等式，224222222+=+≥+++=xyxyyxyxL.当2==yx时，L取得最小值224+．-----22分12．（1）设1)(3−−=xxxf，则13)(2−=′xxf．)(xf在−∞−31,单调增，在31−=x处取得极大值01332−，在−31,31单调减，在31=x处取得极小值01332−−，在−∞−31,单调增．再由05)2(01)1(=−=ff，知，方程0)(=xf有唯一的实根()2,1∈ω．-----8分假设nm=ω，其中nm,是互素的正整数，则1|)(3223=⇒⇒+=nmnnmnm，即ω是整数，这与()2,1∈ω矛盾．因此，ω是无理数．-----13分（2）假设ω还满足)0,,,(02≠∈=++acbacbaZωω，则有=−−=++)2(01)1(032ωωωωcba.将第（1）式乘ω减去第（2）式乘a得=+++=++)4(0)()3(022acabcbaωωωω.将第（4）式乘a减去第（3）式乘b得.0)()(222=−+−+bcabacaω由于ω为无理数，故=−=−+00222bcabaca由0≠a知0≠bc．把cab2=代入022=−+baca，得133+=caca，从而ca=ω，这与ω是无理数矛盾．-----22分