2014年中考数学试题分类汇编--- 操作探究

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操作探究一、选择题1.(2014•德州,第12题3分)如图,在一张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,点E,F分别在AD,BC上,将纸片ABCD沿直线EF折叠,点C落在AD上的一点H处,点D落在点G处,有以下四个结论:①四边形CFHE是菱形;②EC平分∠DCH;③线段BF的取值范围为3≤BF≤4;④当点H与点A重合时,EF=2.以上结论中,你认为正确的有()个.A.1B.2C.3D.4考点:xkb1.com翻折变换(折叠问题)分析:先判断出四边形CFHE是平行四边形,再根据翻折的性质可得CF=FH,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明,判断出①正确;根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH,然后求出只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH,判断出②错误;点H与点A重合时,设BF=x,表示出AF=FC=8﹣x,利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值,点G与点D重合时,CF=CD,求出BF=4,然后写出BF的取值范围,判断出③正确;过点F作FM⊥AD于M,求出ME,再利用勾股定理列式求解得到EF,判断出④正确.解答:解:∵FH与CG,EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分,∴FH∥CG,EH∥CF,∴四边形CFHE是平行四边形,由翻折的性质得,CF=FH,∴四边形CFHE是菱形,故①正确;∴∠BCH=∠ECH,∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH,故②错误;点H与点A重合时,设BF=x,则AF=FC=8﹣x,在Rt△ABF中,AB2+BF2=AF2,即42+x2=(8﹣x)2,解得x=3,点G与点D重合时,CF=CD=4,∴BF=4,∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4,故③正确;过点F作FM⊥AD于M,则ME=(8﹣3)﹣3=2,由勾股定理得,EF===2,故④正确;综上所述,结论正确的有①③④共3个.故选C.点评:本题考查了翻折变换的性质,菱形的判定与性质,勾股定理的应用,难点在于③判断出BF最小和最大时的两种情况.二.填空题三.解答题1.(2014•福建泉州,第25题12分)如图,在锐角三角形纸片ABC中,AC>BC,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上.(1)已知:DE∥AC,DF∥BC.①判断四边形DECF一定是什么形状?②裁剪当AC=24cm,BC=20cm,∠ACB=45°时,请你探索:如何剪四边形DECF,能使它的面积最大,并证明你的结论;(2)折叠请你只用两次折叠,确定四边形的顶点D,E,C,F,使它恰好为菱形,并说明你的折法和理由.考点:四边形综合题分析:(1)①根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得,②根据△ADF∽△ABC推出对应边的相似比,然后进行转换,即可得出h与x之间的函数关系式,根据平行四边形的面积公式,很容易得出面积S关于h的二次函数表达式,求出顶点坐标,就可得出面积s最大时h的值.(2)第一步,沿∠ABC的对角线对折,使C与C1重合,得到三角形ABB1,第二步,沿B1对折,使DA1⊥BB1.解答:解:(1)①∵DE∥AC,DF∥BC,x_k_b_1∴四边形DECF是平行四边形.②作AG⊥BC,交BC于G,交DF于H,∵∠ACB=45°,AC=24cm∴AG==12,设DF=EC=x,平行四边形的高为h,则AH=12h,xkb1.com∵DF∥BC,∴=,∵BC=20cm,即:=∴x=×20,∵S=xh=x•×20=20h﹣h2.∴﹣=﹣=6,∵AH=12,∴AF=FC,∴在AC中点处剪四边形DECF,能使它的面积最大.(2)第一步,沿∠ABC的对角线对折,使C与C1重合,得到三角形ABB1,第二步,沿B1对折,使DA1⊥BB1.理由:对角线互相垂直平分的四边形是菱形.点评:本题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、二次函数的最值.关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式,求出二次函数表达式,即可求出结论.2.(2014•福建泉州,第26题14分)如图,直线y=﹣x+3与x,y轴分别交于点A,B,与反比例函数的图象交于点P(2,1).(1)求该反比例函数的关系式;(2)设PC⊥y轴于点C,点A关于y轴的对称点为A′;①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值;②对大于1的常数m,求x轴上的点M的坐标,使得sin∠BMC=.xk|b|1考点:反比例函数综合题;待定系数法求反比例函数解析式;勾股定理;矩形的判定与性质;垂径定理;直线与圆的位置关系;锐角三角函数的定义专题:压轴题;探究型.分析:(1)设反比例函数的关系式y=,然后把点P的坐标(2,1)代入即可.(2)①先求出直线y=﹣x+3与x、y轴交点坐标,然后运用勾股定理即可求出△A′BC的周长;过点C作CD⊥AB,垂足为D,运用面积法可以求出CD长,从而求出sin∠BA′C的值.②由于BC=2,sin∠BMC=,因此点M在以BC为弦,半径为m的⊙E上,因而点M应是⊙E与x轴的交点.然后对⊙E与x轴的位置关系进行讨论,只需运用矩形的判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点M的坐标.解答:解:(1)设反比例函数的关系式y=.∵点P(2,1)在反比例函数y=的图象上,∴k=2×1=2.∴反比例函数的关系式y=.(2)①过点C作CD⊥AB,垂足为D,如图1所示.当x=0时,y=0+3=3,则点B的坐标为(0,3).OB=3.当y=0时,0=﹣x+3,解得x=3,则点A的坐标为(3,0),OA=3.∵点A关于y轴的对称点为A′,∴OA′=OA=3.∵PC⊥y轴,点P(2,1),∴OC=1,PC=2.∴BC=2.∵∠AOB=90°,OA′=OB=3,OC=1,∴A′B=3,A′C=.∴△A′BC的周长为3++2.∵S△ABC=BC•A′O=A′B•CD,∴BC•A′O=A′B•CD.∴2×3=3×CD.∴CD=.∵CD⊥A′B,∴sin∠BA′C===.∴△A′BC的周长为3++2,sin∠BA′C的值为.②当1<m<2时,作经过点B、C且半径为m的⊙E,连接CE并延长,交⊙E于点P,连接BP,过点E作EG⊥OB,垂足为G,过点E作EH⊥x轴,垂足为H,如图2①所示.∵CP是⊙E的直径,∴∠PBC=90°.∴sin∠BPC===.w!w!w.!x!k!b!1.com∵sin∠BMC=,∴∠BMC=∠BPC.∴点M在⊙E上.∵点M在x轴上∴点M是⊙E与x轴的交点.∵EG⊥BC,∴BG=GC=1.∴OG=2.∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°,∴四边形OGEH是矩形.∴EH=OG=2,EG=OH.∵1<m<2,∴EH>EC.∴⊙E与x轴相离.∴x轴上不存在点M,使得sin∠BMC=.②当m=2时,EH=EC.∴⊙E与x轴相切.Ⅰ.切点在x轴的正半轴上时,如图2②所示.∴点M与点H重合.∵EG⊥OG,GC=1,EC=m,∴EG==.∴OM=OH=EG=.∴点M的坐标为(,0).Ⅱ.切点在x轴的负半轴上时,同理可得:点M的坐标为(﹣,0).xkb1.com③当m>2时,EH<EC.∴⊙E与x轴相交.Ⅰ.交点在x轴的正半轴上时,设交点为M、M′,连接EM,如图2③所示.∵∠EHM=90°,EM=m,EH=2,∴MH===.∵EH⊥MM′,∴MH=M′H.∴M′H═.∵∠EGC=90°,GC=1,EC=m,∴EG===.∴OH=EG=.∴OM=OH﹣MH=﹣,∴OM′=OH+HM′=+,∴M(﹣,0)、M′(+,0).Ⅱ.交点在x轴的负半轴上时,同理可得:M(﹣+,0)、M′(﹣﹣,0).综上所述:当1<m<2时,满足要求的点M不存在;当m=2时,满足要求的点M的坐标为(,0)和(﹣,0);当m>2时,满足要求的点M的坐标为(﹣,0)、(+,0)、(﹣+,0)、(﹣﹣,0).点评:本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、勾股定理、三角函数的定义、矩形的判定与性质、直线与圆的位置关系、垂径定理等知识,考查了用面积法求三角形的高,考查了通过构造辅助圆解决问题,综合性比较强,难度系数比较大.由BC=2,sin∠BMC=联想到点M在以BC为弦,半径为m的⊙E上是解决本题的关键.3.(2014•浙江宁波,第25题12分)课本的作业题中有这样一道题:把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀,分成3张小纸片,使每张小纸片都是等腰三角形,你能办到吗?请画示意图说明剪法.我们有多少种剪法,图1是其中的一种方法:定义:如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.新课标第一网(1)请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数;(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形,则视为同一种)(2)△ABC中,∠B=30°,AD和DE是△ABC的三分线,点D在BC边上,点E在AC边上,且AD=BD,DE=CE,设∠C=x°,试画出示意图,并求出x所有可能的值;(3)如图3,△ABC中,AC=2,BC=3,∠C=2∠B,请画出△ABC的三分线,并求出三分线的长.考点:相似形综合题;图形的剪拼分析:(1)45°自然想到等腰直角三角形,过底角一顶点作对边的高,发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形.直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形,则易得一种情况.第二种情形可以考虑题例中给出的方法,试着同样以一底角作为新等腰三角形的底角,则另一底脚被分为45°和22.5°,再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角,易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形.即又一三分线作法.(2)用量角器,直尺标准作30°角,而后确定一边为BA,一边为BC,根据题意可以先固定BA的长,而后可确定D点,再标准作图实验﹣﹣分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边,兼顾AEC在同一直线上,易得2种三角形ABC.根据图形易得x的值.(3)因为∠C=2∠B,作∠C的角平分线,则可得第一个等腰三角形.而后借用圆规,以边长画弧,根据交点,寻找是否存在三分线,易得如图4图形为三分线.则可根据外角等于内角之和及腰相等等情况列出等量关系,求解方程可知各线的长.解答:解:(1)如图2作图,(2)如图3①、②作△ABC.①当AD=AE时,∵2x+x=30+30,∴x=20.②当AD=DE时,∵30+30+2x+x=180,∴x=40.(3)如图4,CD、AE就是所求的三分线.xkb1.com设∠B=a,则∠DCB=∠DCA=∠EAC=a,∠ADE=∠AED=2a,此时△AEC∽△BDC,△ACD∽△ABC,设AE=AD=x,BD=CD=y,∵△AEC∽△BDC,∴x:y=2:3,∵△ACD∽△ABC,∴2x=(x+y):2,所以联立得方程组,解得,即三分线长分别是和.点评:本题考查了学生学习的理解能力及动手创新能力,知识方面重点考查三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识,是一道很锻炼学生能力的题目.新课标第一网系列资料

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