中山市2010年初三数学竞赛试题

中山市2010年初三数学竞赛试题题号一二三总分复查人1～56～1011121314得分评卷人一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题有且只有一个选项是正确的.请将正确选项代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若2010abbc，，则abbc的值为（）（A）1121（B）21011（C）11021（D）21112．若实数a，b满足21202aabb，则a的取值范围是（）（A）a≤2（B）a≥4（C）2≤a≤4（D）a≤2或a≥43．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=23，BC=422，CD＝42，则AD边的长为（）（A）26（B）64（C）622（D）644．在一列数123xxx，，，……中，已知11x，且当k≥2时，1121444kkkkxx，（取整符号a表示不超过实数a的最大整数，例如2.62，0.20），则2010x等于（）(A)1(B)2(C)3(D)45．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）（A）（2010，2）（B）（2012，2）（C）（2010，2）（D）（0，2）二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．已知a＝5－1，则2a3＋7a2－2a－11的值等于．7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是．9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则AEAD．10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若n的最小值0n满足020003000n，则正整数k的最小值为．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．设实数a，b满足：2231085100aabbab，求u29722ab的最小值.（第8题）（第9题）12．如图，AB为⊙O的直径，C为圆上一点，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线.（2）若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长.13．设1x，2x，…，0082x是整数，且满足下列条件：（1）21nx（n=1，2，…，2008）；（2）21xx…+0082x=200；（3）2221xx…+20082x=2008.求3231xx…+30082x的最小值和最大值.14．如图，已知直线bxyl31:经过点)410(，M，一组抛物线的顶点11(1,y)B，22(2,y)B，33(3,y)B，…，n(,y)nBn（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：11(,0)Ax，22(,0)Ax，33(,0)Ax，…，11(,0)nnAx（n为正整数），设dx1(0＜d＜1).（1）求经过点1A、1B、2A的抛物线的解析式（用含d的代数式表示）；（2）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”.探究：当d(0＜d＜1)的大小变化时，这组抛物线中是否存在“美丽抛物线”？若存在，请求出相应的d的值.中山市2010年初三数学竞赛试题参考答案一、选择题1．B解：由题设得12012101111110aabbcbcb．2．D解：因为b是实数，所以关于b的一元二次方程21202baba21()41(2)2aa＝≥0,解得a≤2或a≥4．3．C解：如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．由已知可得BE=AE=6，CF＝22，DF＝26，于是EF＝4＋6．过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得AD222(46)(6)(224)＝226．4．B解：由11x和1121444kkkkxx可得11x，22x，33x，44x，51x，62x，73x，84x，……因为2010=4×502+2，所以2010x=2．5．C解：由已知可以得到，点1P，2P的坐标分别为（2，0），（2，2）．记222)Pab（，，其中222,2ab．根据对称关系，依次可以求得：322(42)Pab，－－，422(2)Pab，4，522(2)Pab，，622(4)Pab，．令662(,)Pab，同样可以求得，点10P的坐标为（624,ab），即10P（2242,ab），由于2010=4502+2，所以点2010P的坐标为（2010，2）．二、填空题6．1解：由已知得(a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－11＝3a2＋6a－11＝17．15解：设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为abc，，（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得10abS，①152acS，②xbcS．③由①②，得30bcS（），所以，x=30．故3010515t（分）．（第3题）8．11133yx+解：如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF；连接CE，DF，且相交于点N．由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．于是，直线MN即为所求的直线l．设直线l的函数表达式为ykxb，则2352kbkb+，，解得1311.3kb，故所求直线l的函数表达式为11133yx+．9．215解：见题图，设,FCmAFn．因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以2ABAFAC．又因为FC＝DC＝AB，所以2()mnnm，即2()10nnmm，解得512nm，或512nm（舍去）．又Rt△AFE∽Rt△CFB，所以AEAEAFnADBCFCm512,即AEAD=512．10．9解：因为1n为23k，，，的倍数，所以n的最小值0n满足0123nk，，，，其中23k，，，表示23k，，，的最小公倍数．由于2388402392520，，，，，，，，23102520231127720，，，，，，，，因此满足020003000n的正整数k的最小值为9．三、解答题11．解：由2231085100aabbab可得23450abab，（6分）所以20ab，或3450ab.…………（8分）（i）当20ab时，22297223672236134uabbbb，于是1b时，u的最小值为34，此时2a，1b.…………（13分）（ii）当3450ab时，222972216322716111uabbbb，于是1b时，u的最小值为11，此时3a，1b.…………（18分）（第8题）综上可知，u的最小值为34.…………（20分）12、解：(1)如图，连接OD.因为AD平分∠BAC,所以∠1=∠2.又因为OA=OD,所以∠1=∠3.所以∠2=∠3.所以OD∥AE.因为DE⊥AE,所以DE⊥OD.而点D在⊙O上,所以DE是⊙O的切线.…………（7分）(2)如图,连接BE与OD交于点H，作OG⊥AE于点G.则OG=DE=3，EG=DO=5，所以AG=2253=4，AE=4+5=9…………（10分）,因为EA∥OD，AO=OB，所以HO=12AE=92，HD=5-92=12，故HE=221373+()22,BE=37…………（20分）13．解：设1x，2x，…，0082x中有q个0，r个-1，s个1，t个2.…………（2分）则220042008rstrst①…………（5分）两式相加得31104st.故0368t.…………（10分）由33312200886200xxxrstt,…………（12分）得33312200820063682002408xxx.…………（15分）由方程组①知:当0,1104,904tsr时,3231xx…+30082x取最小值200;……（17分）当368,0,536tsr时,3231xx…+30082x取最小值2408.…………（20分）14．解：(1)易得14b，B1(7121，),…………（3分）设其解析式为27(1)(0),12yaxa由1(,0),Ad得2712(1)ad，…………（7分）于是2277(1)12(1)12yxd为所求；…………（8分）（或者由12(,0),(2,0)AdAd为该抛物线与x轴的两个交点，设其解析式为()(2)(0)yaxdxda，再代入点17(1,)12B，同样可得）（2）根据对称性易得12345...AAAAA、、、、的横坐标依次为d,2-d,2+d,4-d,4+d,6-d,…（10分）1223344522,2,22,2...AAdAAdAAdAAd，（12分）要使三角形为直角三角形，则斜边上中线等于斜边的一半，因为0＜d＜1,斜边长都小于2，所以只要高123,,...yyy小于1才能构成直角三角形，…………（14分）当3x时，所对应的函数值都大于1，可以得到符合要求的顶点为1B、2B，………（16分）再求得相应的d的值为512或1112.…………（20分）