中南大学2012年数学竞赛试题

2012年度中南大学数学竞赛试题（非数学类）时间：150分钟，总分：100分,考试形式：闭卷（注：此页不做答题纸，请将答案写在答题纸上）一、填空题（每小题5分，共30分）1.xxxxx103421lim=_________；2.设函数0,00,1sin)(xxxxxfk在0x处可导，则正整数k的最小值为_________；3.设nknknknx113，则nnxlim_________；4.设)10(tan2cos)(sin22xxxxf，则)(xf=_________；5.设xyyxz1arctan，则yxz2=_________；2微分方程0sec)1(tan32ydyeydxexx的通解是_________。二、（本题10分）设函数)(xf满足方程07)1(4)(32xxfxxf，求)(xf的极值。三、（本题10分）设y是方程33)(xyxy所确定的隐函数,求3ydx。四、（本题10分）求幂级数11nnxnn的收敛域与和函数。五、（本题10分）曲线022yzx绕z轴旋转一周所得旋转曲面与2,1zz所围立体的区域记为，求dxdydzzyx2221。六、（本题10分）设曲线AB的极坐标方程为)22(cos1，一质点P在力F的作用下沿曲线AB从点)1,0(A运动到点)1,0(B，力F的大小等于点P到定点)4,3(M的距离，其方向垂直于线段MP，且与y轴正向的夹角为锐角，求力F对质点P所作的功。七、（本题10分）设),,(zyx为原点到椭球面：)0,0,0(,1222222cbaczbyax上点),,(zyx处切平面的距离，求积分dSzyxI)(，，。八、（本题10分）设函数)(xf为),0上单调减少的连续函数，证明：0)()3(022dttftxx。