2014秋季赛二试试题卷

第二届\学数学数学奥林匹克邀请赛(秋季赛)2014年第二届\学数学数学奥林匹克邀请赛(秋季赛)第二试{12:10一.(本题满分40分)如图1,△ABC的内切圆⊙I分别与边BC,CA,AB相切于点D,E,F,DD′为⊙I的直径,过圆心I作直线AD′的垂线l,直线l分别与DE,DF相交于点M,N.证明:IM=IN.ABCDD′EFMNI图1二.(本题满分40分)已知i∈R+(i=1;2;···;n).试求方程nXi=1(xi+i)2xi+1=4nXi=1i(其中xn+1=x1)的所有正实数解x1;x2;···;xn.三.(本题满分50分)对给定的正整数n,试求所有的正整数k,使得2n可以表示成k个(包括1个)连续整数的立方和.四.(本题满分50分)将正n(n3)边形的每条边和对角线都染为m种颜色之一,使得每个顶点所连出的n−1条线段(边或对角线)的颜色两两不同,试求正整数m的最小可能值.第1页共1页