2014秋季赛一试试题卷

第二届\学数学数学奥林匹克邀请赛(秋季赛)试题卷2014年第二届\学数学数学奥林匹克邀请赛(秋季赛)第一试{9:20一.填空题(本题满分64分,每小题8分)1.在Rt△ABC中,\C=90◦,AB=1,点E是边AB的中点,CD是边AB上的高.则−→CA·−−→CD·−→CA·−−→CE的最大值为.2.方程¨2x+2−2√2x+1+¨2x+10−6√2x+1=2的解集为.3.若函数f(x)=cosnx·sin4nx(n∈Z)的周期为3,则n的取值集合为.4.若方程√ax2+ax+2=ax+2恰有一个实根,则实数a的取值范围是.5.随机地投掷四颗骰子,则这四颗骰子所示数字中的最小数恰等于3的概率为.6.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+12an,则limn→∞(an−√n)=.7.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为点F,过椭圆C上的一点A做椭圆的切线交y轴于点Q.若\QFO=45◦,\QFA=30◦,则椭圆的离心率为.8.两个腰长都是1的等腰直角△ABC1和等腰直角△ABC2所在的半平面构成60◦的二面角,则线段C1C2的长的取值集合为.学数学编辑部官方微信平台第1页共2页第二届\学数学数学奥林匹克邀请赛(秋季赛)试题卷二.解答题(本题满分56分)9.(16分)设点A(x0;y0),By20p−x0;y0(p0)是平面上的两个定点,点P是抛物线y2=2px上的一个动点,直线PA,PB分别与抛物线交于另一点C,D.求证:直线CD的斜率为定值.10.(20分)已知m;n∈N∗,lngm(x)=x+mln3,fn+1(x)=f1(fn(x)),其中f1(x)=3x+2.证明:(1)对任意的x2,2014Xi=11gi(x)−fi(x)12;(2)对于任意的整数k7,必存在一个由k唯一确定的k∈{0;1;2;···;2013},使得fk(k)是2014的倍数.11.(20分)已知数列{an},{bn}满足:对任意n∈N∗,{an}中不大于n的项数恰为bn,{bn}中不大于n的项数恰为an.(1)若a1=b1,求{an}与{bn};(2)若a1=b1+2014,求{an}与{bn}.欢迎订阅学数学杂志《学数学》杂志是高中学生学习数学课程,参加高考,准备参加自主招生考试及角逐全国高中数学联赛等各级数学竞赛的得力助手.她是高中同学研究数学的工具,学好数学的宝典;她是高中数学教师教学的伴侣,竞赛辅导的参考资料.淘宝网店@omaths.com订阅邮箱[e-mail]杂志网址日报到,11月2日至11月13日授课.报到地点江苏省南京市.培训师资单壿等《学数学》顾问及编委.授课形式邀请担任过CMO主试委员会委员及IMO中国国家集训队教练的专家进行专题讲座,培训期间安排一次适应性训练,并赠送由本刊编委会精心选编的80道练习题.详情请登录页